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1963 AMC 12 Problema 40

Intenta el Problema 40 del 1963 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1963 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

40.

Si

x

es un número que satisface la ecuación

\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3,

entonces

x^2

está entre:

If

x

is a number satisfying the equation

\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3,

then

x^2

is between:

55

y

65

55

and

65

65

y

75

65

and

75

75

y

85

75

and

85

85

y

95

85

and

95

95

y

105

95

and

105

Respuesta: C

Conceptos:radical suma y diferencia de cubos simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Sea

u=\sqrt[3]{x+9}

y

v=\sqrt[3]{x-9}

Set

u=\sqrt[3]{x+9}

and

v=\sqrt[3]{x-9}

Pista grande:

Usa tanto

u-v=3

como

u^3-v^3=18

para hallar

uv

Use both

u-v=3

and

u^3-v^3=18

to find

uv

Solución:

Sea

u=\sqrt[3]{x+9}

y

v=\sqrt[3]{x-9}.

Entonces

u-v=3

y

\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned}

por lo que

u^2+uv+v^2=6.

Al comparar con

(u-v)^2=9

se obtiene

uv=-1.

Por tanto,

(u+v)^2=5.

Al elevar al cubo

2u=3\pm\sqrt5

se obtiene

x=\pm4\sqrt5,

y en ambos casos

x^2=80,

que está entre

75

y

85.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

u=\sqrt[3]{x+9}

and

v=\sqrt[3]{x-9}.

Then

u-v=3

and

\begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned}

so

u^2+uv+v^2=6.

Comparing with

(u-v)^2=9

gives

uv=-1.

Hence

(u+v)^2=5.

Cubing

2u=3\pm\sqrt5

gives

x=\pm4\sqrt5,

and either way

x^2=80,

between

75

and

85.

Therefore, the correct answer is C.

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