1967 AMC 12 Problema 39

Question

Se dan los conjuntos de enteros consecutivos

\{1\},

\{2,3\},

\{4,5,6\},

\{7,8,9,10\},

\ldots,

donde cada conjunto contiene un elemento más que el anterior y el primer elemento de cada conjunto es uno mayor que el último del conjunto precedente. Sea

S_n

la suma de los elementos del

n

-ésimo conjunto. Entonces

S_{21}

es igual a:

Given the sets of consecutive integers

\{1\},

\{2,3\},

\{4,5,6\},

\{7,8,9,10\},

\ldots,

where each set contains one more element than the preceding one, and where the first element of each succeeding set is one more than the last element of the preceding set. Let

S_n

be the sum of the elements in the

n

th set. Then

S_{21}

equals:

1113

4641

5082

53361

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética número triangular sumatoria

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

El último número del

n

-ésimo conjunto es

\frac{n(n+1)}{2}

The last number in the

n

th set is

\frac{n(n+1)}{2}

Pista grande:

Suma los

n

enteros consecutivos que terminan en ese número

Sum the

n

consecutive integers ending at that number

Solución:

El

n

-ésimo conjunto termina en

\frac{n(n+1)}{2}

y contiene

n

enteros consecutivos. Su suma es

\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned}

Por lo tanto,

S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The

n

th set ends at

\frac{n(n+1)}{2}

and contains

n

consecutive integers. Its sum is

\begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned}

Thus

S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.

Therefore, the correct answer is B.