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Problemas del 1967 AMC 12

40 problemas · 75 minutos

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1.

El número de tres cifras 2a32a3 se suma al número 326326 para obtener el número de tres cifras 5b9.5b9. Si 5b95b9 es divisible entre 9,9, entonces a+ba+b es igual a:
The three-digit number 2a32a3 is added to the number 326326 to give the three-digit number 5b9.5b9. If 5b95b9 is divisible by 9,9, then a+ba+b equals:
22
44
66
88
99
Respuesta: C
Conceptos:valor posicionaldivisibilidad
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Usa la suma de cifras de 5b95b9
Use the digit sum of 5b95b9
Pista grande:
Después de hallar b,b, compara las cifras de las decenas en la suma
After finding b,b, compare the tens digits in the addition
Solución:
La divisibilidad entre 99 exige que 5+b+95+b+9 sea múltiplo de 9.9. Como bb es una cifra, esto da b=4.b=4. La suma es entonces 2a3+326=549,2a3+326=549, por lo que a=2.a=2. Así, a+b=6.a+b=6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Divisibility by 99 requires 5+b+95+b+9 to be a multiple of 9.9. Since bb is a digit, this gives b=4.b=4. The addition is then 2a3+326=549,2a3+326=549, so a=2.a=2. Hence a+b=6.a+b=6.
Therefore, the correct answer is C.

2.

Una expresión equivalente a
(x2+1x)(y2+1y)+(x2−1y)(y2−1x),xy≠0, \begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}
es:
An equivalent of the expression
(x2+1x)(y2+1y)+(x2−1y)(y2−1x),xy≠0, \begin{aligned} &\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \left(\frac{y^2+1}{y}\right)\\ &\quad+ \left(\frac{x^2-1}{y}\right) \left(\frac{y^2-1}{x}\right),\\ &\qquad xy\ne0, \end{aligned}
is:
11
2xy2xy
2x2y2+22x^2y^2+2
2xy+2xy2xy+\dfrac{2}{xy}
2xy+2yx\dfrac{2x}{y}+\dfrac{2y}{x}
Respuesta: D
Conceptos:manipulación algebraicafracción
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Desarrolla cada producto en cuatro términos
Expand each product into four terms
Pista grande:
Busca la cancelación de los términos xy\frac{x}{y} y yx\frac{y}{x}
Look for cancellation of the xy\frac{x}{y} and yx\frac{y}{x} terms
Solución:
El primer producto es xy+xy+yx+1xy, xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy}, mientras que el segundo es xy−xy−yx+1xy. xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}. Al sumar se obtiene 2xy+2xy.2xy+\frac{2}{xy}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The first product is xy+xy+yx+1xy, xy+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac1{xy}, while the second is xy−xy−yx+1xy. xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}+\frac1{xy}. Adding gives 2xy+2xy.2xy+\frac{2}{xy}.
Therefore, the correct answer is D.

3.

El lado de un triángulo equilátero mide s.s. Se inscribe un círculo en el triángulo y un cuadrado en el círculo. El área del cuadrado es:
The side of an equilateral triangle is s.s. A circle is inscribed in the triangle and a square is inscribed in the circle. The area of the square is:
s224\dfrac{s^2}{24}
s26\dfrac{s^2}{6}
s226\dfrac{s^2\sqrt2}{6}
s236\dfrac{s^2\sqrt3}{6}
s23\dfrac{s^2}{3}
Respuesta: B
Conceptos:triángulo equiláterocircunferencia inscrita, incentro e inradiocuadrado (geometría)área
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:
El inradio de un triángulo equilátero de lado ss es s36\frac{s\sqrt3}{6}
The inradius of an equilateral triangle of side ss is s36\frac{s\sqrt3}{6}
Pista grande:
La diagonal del cuadrado es el diámetro del círculo
The square’s diagonal is the circle’s diameter
Solución:
El inradio es r=s36.r=\frac{s\sqrt3}{6}. El cuadrado inscrito tiene diagonal 2r,2r, por lo que su área es la mitad del cuadrado de esa diagonal: (2r)22=2r2=2(s36)2=s26. \begin{aligned} \frac{(2r)^2}{2} &=2r^2\\ &=2\left(\frac{s\sqrt3}{6}\right)^2\\ &=\frac{s^2}{6}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The inradius is r=s36.r=\frac{s\sqrt3}{6}. The inscribed square has diagonal 2r,2r, so its area is half the square of that diagonal: (2r)22=2r2=2(s36)2=s26. \begin{aligned} \frac{(2r)^2}{2} &=2r^2\\ &=2\left(\frac{s\sqrt3}{6}\right)^2\\ &=\frac{s^2}{6}. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is B.

4.

Dado que log⁡ap=log⁡bq=log⁡cr=log⁡x,\dfrac{\log a}{p}=\dfrac{\log b}{q}=\dfrac{\log c}{r}=\log x, todos los logaritmos tienen la misma base y x≠1.x\ne1. Si b2ac=xy,\dfrac{b^2}{ac}=x^y, entonces yy es:
Given log⁡ap=log⁡bq=log⁡cr=log⁡x,\dfrac{\log a}{p}=\dfrac{\log b}{q}=\dfrac{\log c}{r}=\log x, all logarithms to the same base and x≠1.x\ne1. If b2ac=xy,\dfrac{b^2}{ac}=x^y, then yy is:
q2p+r\dfrac{q^2}{p+r}
p+r2q\dfrac{p+r}{2q}
2q−p−r2q-p-r
2q−pr2q-pr
q2−prq^2-pr
Respuesta: C
Conceptos:logaritmoexponentesustitución
Nivel de dificultad: 1210
Pista pequeña:
Reescribe las igualdades logarítmicas como a=xp,a=x^p, b=xq,b=x^q, y c=xrc=x^r
Rewrite the logarithmic equalities as a=xp,a=x^p, b=xq,b=x^q, and c=xrc=x^r
Pista grande:
Sustituye esas potencias en b2ac\frac{b^2}{ac}
Substitute those powers into b2ac\frac{b^2}{ac}
Solución:
Las igualdades dadas implican a=xp,a=x^p, b=xq,b=x^q, y c=xr.c=x^r. Por lo tanto, b2ac=x2q−p−r. \frac{b^2}{ac} =x^{2q-p-r}. Como esto es xyx^y y x≠1,x\ne1, tenemos y=2q−p−r.y=2q-p-r.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The given equalities imply a=xp,a=x^p, b=xq,b=x^q, and c=xr.c=x^r. Therefore b2ac=x2q−p−r. \frac{b^2}{ac} =x^{2q-p-r}. Since this is xyx^y and x≠1,x\ne1, we have y=2q−p−r.y=2q-p-r.
Therefore, the correct answer is C.

5.

Un triángulo está circunscrito a un círculo de radio rr pulgadas. Si el perímetro del triángulo es PP pulgadas y el área es KK pulgadas cuadradas, entonces PK\frac{P}{K} es:
A triangle is circumscribed about a circle of radius rr inches. If the perimeter of the triangle is PP inches and the area is KK square inches, then PK\frac{P}{K} is:
independiente del valor de rr
independent of the value of rr
2r\dfrac{\sqrt2}{r}
2r\dfrac{2}{\sqrt r}
2r\dfrac2r
r2\dfrac r2
Respuesta: D
Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradioárea del triánguloperímetro
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:
Divide el triángulo en tres triángulos menores de altura rr
Split the triangle into three smaller triangles with altitude rr
Pista grande:
Expresa KK usando el semiperímetro P2\frac{P}{2}
Express KK using the semiperimeter P2\frac{P}{2}
Solución:
Los tres radios trazados a los puntos de tangencia dividen el triángulo en triángulos menores cuya área total es K=12r(a+b+c)=Pr2. K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}. Por consiguiente, PK=2r.\frac{P}{K}=\frac{2}{r}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The three radii to the points of tangency split the triangle into smaller triangles whose total area is K=12r(a+b+c)=Pr2. K=\frac12r(a+b+c)=\frac{Pr}{2}. Hence PK=2r.\frac{P}{K}=\frac{2}{r}.
Therefore, the correct answer is D.

6.

Si f(x)=4x,f(x)=4^x, entonces f(x+1)−f(x)f(x+1)-f(x) es igual a:
If f(x)=4x,f(x)=4^x, then f(x+1)−f(x)f(x+1)-f(x) equals:
44
f(x)f(x)
2f(x)2f(x)
3f(x)3f(x)
4f(x)4f(x)
Respuesta: D
Conceptos:funciónexponente
Nivel de dificultad: 960
Pista pequeña:
Escribe 4x+14^{x+1} como 4⋅4x4\cdot4^x
Write 4x+14^{x+1} as 4⋅4x4\cdot4^x
Pista grande:
Saca 4x4^x como factor común de la diferencia
Factor 4x4^x from the difference
Solución:
Tenemos f(x+1)=4x+1=4f(x).f(x+1)=4^{x+1}=4f(x). Por lo tanto, f(x+1)−f(x)=3f(x).f(x+1)-f(x)=3f(x).
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
We have f(x+1)=4x+1=4f(x).f(x+1)=4^{x+1}=4f(x). Therefore f(x+1)−f(x)=3f(x).f(x+1)-f(x)=3f(x).
Thus, the correct answer is D.

7.

Si ab<−cd,\dfrac ab\lt-\dfrac cd, donde a,a, b,b, c,c, dd son números reales y bd≠0,bd\ne0, entonces:
If ab<−cd,\dfrac ab\lt-\dfrac cd, where a,a, b,b, c,c, dd are real numbers and bd≠0,bd\ne0, then:
aa debe ser negativo
aa must be negative
aa debe ser positivo
aa must be positive
aa no puede ser cero
aa must not be zero
aa puede ser negativo o cero, pero no positivo
aa can be negative or zero, but not positive
aa puede ser positivo, negativo o cero
aa can be positive, negative, or zero
Respuesta: E
Conceptos:desigualdadcontraejemplo
Nivel de dificultad: 1430
Pista pequeña:
Los signos de b,c,db,c,d no están restringidos, salvo que b,d≠0b,d\ne0
The signs of b,c,db,c,d are unrestricted except that b,d≠0b,d\ne0
Pista grande:
Prueba b=d=1b=d=1 y elige cc para que el lado derecho sea positivo
Try b=d=1b=d=1 and choose cc so that the right side is positive
Solución:
Tomamos b=d=1b=d=1 y c=−2.c=-2. La desigualdad se convierte en a<2,a\lt2, que satisfacen valores positivos, cero y negativos de a.a. Así, ninguno de los tres signos posibles es obligatorio.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Take b=d=1b=d=1 and c=−2.c=-2. The inequality becomes a<2,a\lt2, which is satisfied by positive, zero, and negative values of a.a. Thus none of the three possible signs is forced.
Therefore, the correct answer is E.

8.

A mm onzas de una solución ácida al m%m\% se añaden xx onzas de agua para obtener una solución al (m−10)%(m-10)\%. Si m>25,m\gt25, entonces xx es:
To mm ounces of an m%m\% solution of acid, xx ounces of water are added to yield an (m−10)%(m-10)\% solution. If m>25,m\gt25, then xx is:
10mm−10\dfrac{10m}{m-10}
5mm−10\dfrac{5m}{m-10}
mm−10\dfrac{m}{m-10}
5mm−20\dfrac{5m}{m-20}
no queda determinado por la información dada
not determined by the given information
Respuesta: A
Conceptos:mezclaporcentajeecuación racional
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
La cantidad de ácido permanece en m2100\frac{m^2}{100} onzas
The amount of acid remains m2100\frac{m^2}{100} ounces
Pista grande:
Iguala eso a m−10100\frac{m-10}{100} multiplicado por el volumen final m+xm+x
Set that equal to m−10100\frac{m-10}{100} times the final volume m+xm+x
Solución:
La conservación del ácido da m2100=m−10100(m+x). \frac{m^2}{100} =\frac{m-10}{100}(m+x). Por tanto, m2=(m−10)(m+x),m^2=(m-10)(m+x), así que 10m=(m−10)x10m=(m-10)x y x=10mm−10. x=\frac{10m}{m-10}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Conservation of acid gives m2100=m−10100(m+x). \frac{m^2}{100} =\frac{m-10}{100}(m+x). Hence m2=(m−10)(m+x),m^2=(m-10)(m+x), so 10m=(m−10)x10m=(m-10)x and x=10mm−10. x=\frac{10m}{m-10}.
Therefore, the correct answer is A.

9.

Sea K,K, en unidades cuadradas, el área de un trapecio tal que la base menor, la altura y la base mayor, en ese orden, forman una progresión aritmética. Entonces:
Let K,K, in square units, be the area of a trapezoid such that the shorter base, the altitude, and the longer base, in that order, are in arithmetic progression. Then:
KK debe ser un entero
KK must be an integer
KK debe ser una fracción racional
KK must be a rational fraction
KK debe ser un número irracional
KK must be an irrational number
KK debe ser un entero o una fracción racional
KK must be an integer or a rational fraction
por separado, ni (A)(A), ni (B)(B), ni (C)(C), ni (D)(D) es cierta
taken alone neither (A)(A) nor (B)(B) nor (C)(C) nor (D)(D) is true
Respuesta: E
Conceptos:trapeciosucesión aritméticaárea
Nivel de dificultad: 1650
Pista pequeña:
Escribe las tres longitudes como a−d,a-d, a,a, y a+da+d
Write the three lengths as a−d,a-d, a,a, and a+da+d
Pista grande:
El área resultante es a2,a^2, pero el problema no restringe qué clase de número es aa
The resulting area is a2,a^2, but the problem does not restrict the kind of number aa is
Solución:
Sean la base menor, la altura y la base mayor a−d,a-d, a,a, y a+d.a+d. Entonces K=12a((a−d)+(a+d))=a2. \begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2. \end{aligned} Según a,a, esto puede ser un entero, un racional no entero o un irracional. Ninguna de las opciones (A) a (D) tiene que cumplirse.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let the shorter base, altitude, and longer base be a−d,a-d, a,a, and a+d.a+d. Then K=12a((a−d)+(a+d))=a2. \begin{aligned} K&=\frac12a\bigl((a-d)+(a+d)\bigr)\\ &=a^2. \end{aligned} Depending on a,a, this can be an integer, a nonintegral rational number, or an irrational number. No one of choices (A) through (D) must hold.
Therefore, the correct answer is E.

10.

Si
a10x−1+b10x+2=2⋅10x+3(10x−1)(10x+2) \begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}
es una identidad para valores racionales positivos de x,x, entonces el valor de a−ba-b es:
If
a10x−1+b10x+2=2⋅10x+3(10x−1)(10x+2) \begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}
is an identity for positive rational values of x,x, then the value of a−ba-b is:
43\dfrac43
53\dfrac53
22
114\dfrac{11}{4}
33
Respuesta: A
Conceptos:ecuación racionalsistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Multiplica por (10x−1)(10x+2)(10^x-1)(10^x+2)
Multiply by (10x−1)(10x+2)(10^x-1)(10^x+2)
Pista grande:
Compara el coeficiente de 10x10^x y el término constante
Compare the coefficient of 10x10^x and the constant term
Solución:
Al eliminar denominadores se obtiene a(10x+2)+b(10x−1)=2⋅10x+3. \begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned} Por lo tanto, a+b=2a+b=2 y 2a−b=3.2a-b=3. Al resolver se obtiene a=53, b=13,a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3}, de modo que a−b=43.a-b=\frac{4}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Clearing denominators gives a(10x+2)+b(10x−1)=2⋅10x+3. \begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned} Therefore a+b=2a+b=2 and 2a−b=3.2a-b=3. Solving gives a=53, b=13,a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3}, so a−b=43.a-b=\frac{4}{3}.
Therefore, the correct answer is A.

11.

Si el perímetro del rectángulo ABCDABCD es 2020 pulgadas, el menor valor de la diagonal AC,AC, en pulgadas, es:
If the perimeter of rectangle ABCDABCD is 2020 inches, the least value of diagonal AC,AC, in inches, is:
00
50\sqrt{50}
1010
200\sqrt{200}
ninguna de las anteriores
none of these
Respuesta: B
Conceptos:rectánguloTeorema de Pitágorasoptimización
Nivel de dificultad: 1440
Pista pequeña:
Si los lados adyacentes son xx y 10−x,10-x, eleva la diagonal al cuadrado
If adjacent sides are xx and 10−x,10-x, square the diagonal
Pista grande:
Completa el cuadrado en x2+(10−x)2x^2+(10-x)^2
Complete the square in x2+(10−x)2x^2+(10-x)^2
Solución:
Sean los lados adyacentes xx y 10−x.10-x. Entonces AC2=x2+(10−x)2=2(x−5)2+50. \begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned} Esto se minimiza cuando x=5,x=5, y da AC=50.AC=\sqrt{50}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let adjacent sides be xx and 10−x.10-x. Then AC2=x2+(10−x)2=2(x−5)2+50. \begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned} This is minimized at x=5,x=5, giving AC=50.AC=\sqrt{50}.
Therefore, the correct answer is B.

12.

Si el área (convexa) limitada por el eje xx y las rectas y=mx+4,y=mx+4, x=1,x=1, y x=4x=4 es 7,7, entonces mm es igual a:
If the (convex) area bounded by the xx-axis and the lines y=mx+4,y=mx+4, x=1,x=1, and x=4x=4 is 7,7, then mm equals:
−12-\dfrac12
−23-\dfrac23
−32-\dfrac32
−2-2
ninguna de las anteriores
none of these
Respuesta: B
Conceptos:geometría analíticatrapecioecuación lineal
Nivel de dificultad: 1480
Pista pequeña:
Los lados verticales paralelos miden m+4m+4 y 4m+44m+4
The parallel vertical sides have lengths m+4m+4 and 4m+44m+4
Pista grande:
Su separación es 33, así que usa la fórmula del área de un trapecio
Their separation is 33, so use the trapezoid-area formula
Solución:
La región limitada es un trapecio con lados paralelos m+4m+4 y 4m+4,4m+4, separados por 3.3. Así, 32((m+4)+(4m+4))=7. \frac32\bigl((m+4)+(4m+4)\bigr)=7. Por lo tanto, 15m+24=14,15m+24=14, de modo que m=−23.m=-\frac{2}{3}. Las alturas de los extremos son positivas, como exige la región convexa indicada.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The bounded region is a trapezoid with parallel sides m+4m+4 and 4m+4,4m+4, separated by 3.3. Thus 32((m+4)+(4m+4))=7. \frac32\bigl((m+4)+(4m+4)\bigr)=7. Hence 15m+24=14,15m+24=14, so m=−23.m=-\frac{2}{3}. The endpoint heights are positive, as required for the stated convex region.
Therefore, the correct answer is B.

13.

Se quiere construir un triángulo ABCABC dados el lado aa (opuesto al ángulo AA), el ángulo B,B, y hc,h_c, la altura desde C.C. Si NN es el número de soluciones no congruentes, entonces NN
A triangle ABCABC is to be constructed given side aa (opposite angle AA), angle B,B, and hc,h_c, the altitude from C.C. If NN is the number of noncongruent solutions, then NN
es 11
is 11
es 22
is 22
debe ser cero
must be zero
debe ser infinito
must be infinite
debe ser cero o infinito
must be zero or infinite
Respuesta: E
Conceptos:alturatrigonometríadeducción lógica
Nivel de dificultad: 2030
Pista pequeña:
Fija BC=aBC=a y traza desde BB el rayo que forma el ángulo dado
Fix BC=aBC=a and draw the ray from BB making the given angle
Pista grande:
La distancia de CC a ese rayo es fija, sin importar dónde esté AA sobre él
The distance from CC to that ray is fixed, regardless of where AA lies on it
Solución:
Fijamos BC=aBC=a y trazamos desde BB el rayo que forma el ángulo prescrito B.B. Su distancia a CC es fija. Si esa distancia no es hc,h_c, no hay solución. Si es hc,h_c, entonces AA puede elegirse en infinitas posiciones del rayo, lo que produce infinitos triángulos no congruentes. Así, NN debe ser cero o infinito.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Fix BC=aBC=a and draw the ray from BB that makes the prescribed angle B.B. Its distance from CC is fixed. If that distance is not hc,h_c, there is no solution. If it is hc,h_c, then AA may be chosen at infinitely many positions on the ray, producing infinitely many noncongruent triangles. Thus NN must be zero or infinite.
Therefore, the correct answer is E.

14.

Sea f(t)=t1−t,f(t)=\dfrac{t}{1-t}, t≠1.t\ne1. Si y=f(x),y=f(x), entonces xx puede expresarse como:
Let f(t)=t1−t,f(t)=\dfrac{t}{1-t}, t≠1.t\ne1. If y=f(x),y=f(x), then xx can be expressed as:
f(1y)f\left(\dfrac1y\right)
−f(y)-f(y)
−f(−y)-f(-y)
f(−y)f(-y)
f(y)f(y)
Respuesta: C
Conceptos:funciónecuación racionalmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
Despeja xx de y=x1−xy=\frac{x}{1-x}
Solve y=x1−xy=\frac{x}{1-x} for xx
Pista grande:
Compara y1+y\frac{y}{1+y} con f(−y)f(-y)
Compare y1+y\frac{y}{1+y} with f(−y)f(-y)
Solución:
De y=x1−xy=\frac{x}{1-x} obtenemos y−yx=x,y-yx=x, así que x=y1+y. x=\frac{y}{1+y}. Como f(−y)=−y1+y,f(-y)=-\frac{y}{1+y}, esto es −f(−y).-f(-y).
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
From y=x1−xy=\frac{x}{1-x} we obtain y−yx=x,y-yx=x, so x=y1+y. x=\frac{y}{1+y}. Since f(−y)=−y1+y,f(-y)=-\frac{y}{1+y}, this is −f(−y).-f(-y).
Therefore, the correct answer is C.

15.

La diferencia entre las áreas de dos triángulos semejantes es 1818 pies cuadrados, y la razón del área mayor a la menor es el cuadrado de un entero. El área del triángulo menor, en pies cuadrados, es un entero, y uno de sus lados mide 33 pies. El lado correspondiente del triángulo mayor, en pies, mide:
The difference in the areas of two similar triangles is 1818 square feet, and the ratio of the larger area to the smaller is the square of an integer. The area of the smaller triangle, in square feet, is an integer, and one of its sides is 33 feet. The corresponding side of the larger triangle, in feet, is:
1212
99
626\sqrt2
66
323\sqrt2
Respuesta: D
Conceptos:semejanzarazón de áreasdivisibilidad
Nivel de dificultad: 1850
Pista pequeña:
Sea kk el factor entero de escala de los lados
Let the integer side-scale factor be kk
Pista grande:
Si el área menor es T,T, entonces T(k2−1)=18T(k^2-1)=18
If the smaller area is T,T, then T(k2−1)=18T(k^2-1)=18
Solución:
Sea el factor de escala de los lados el entero k>1k\gt1 y el área menor el entero T.T. Entonces T(k2−1)=18. T(k^2-1)=18. Así, k2−1k^2-1 es un divisor positivo de 18.18. El único cuadrado k2k^2 resultante es 4,4, por lo que k=2.k=2. El lado correspondiente mide 3k=6.3k=6.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let the side-scale factor be the integer k>1k\gt1 and the smaller area be the integer T.T. Then T(k2−1)=18. T(k^2-1)=18. Thus k2−1k^2-1 is a positive divisor of 18.18. The only resulting square k2k^2 is 4,4, so k=2.k=2. The corresponding side is 3k=6.3k=6.
Therefore, the correct answer is D.

16.

Sea el producto (12)(15)(16),(12)(15)(16), con cada factor escrito en base b,b, igual a 31463146 en base b.b. Sea s=12+15+16,s=12+15+16, con cada sumando expresado en base b.b. Entonces s,s, en base b,b, es:
Let the product (12)(15)(16),(12)(15)(16), each factor written in base b,b, equal 31463146 in base b.b. Let s=12+15+16,s=12+15+16, each term expressed in base b.b. Then s,s, in base b,b, is:
4343
4444
4545
4646
4747
Respuesta: B
Conceptos:base numéricapolinomiovalor posicional
Nivel de dificultad: 2130
Pista pequeña:
Convierte los tres factores y 3146b3146_b en polinomios en bb
Translate the three factors and 3146b3146_b into polynomials in bb
Pista grande:
La cúbica resultante tiene la base válida b=9b=9
The resulting cubic has the valid base b=9b=9
Solución:
La ecuación del producto es (b+2)(b+5)(b+6)=3b3+b2+4b+6. \begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned} Se simplifica a b3−6b2−24b−27=0,(b−9)(b2+3b+3)=0. \begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned} Así, la base válida es b=9.b=9. La suma requerida es 3b+13=4b+4,3b+13=4b+4, que es 44b.44_b.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The product equation is (b+2)(b+5)(b+6)=3b3+b2+4b+6. \begin{aligned} &(b+2)(b+5)(b+6)\\ &\qquad=3b^3+b^2+4b+6. \end{aligned} It simplifies to b3−6b2−24b−27=0,(b−9)(b2+3b+3)=0. \begin{aligned} b^3-6b^2-24b-27&=0,\\ (b-9)(b^2+3b+3)&=0. \end{aligned} Thus the valid base is b=9.b=9. The required sum is 3b+13=4b+4,3b+13=4b+4, which is 44b.44_b.
Therefore, the correct answer is B.

17.

Si r1r_1 y r2r_2 son las raíces reales distintas de x2+px+8=0,x^2+px+8=0, entonces necesariamente:
If r1r_1 and r2r_2 are the distinct real roots of x2+px+8=0,x^2+px+8=0, then it must follow that:
∣r1+r2∣>42\lvert r_1+r_2\rvert\gt4\sqrt2
∣r1∣>3\lvert r_1\rvert\gt3 o ∣r2∣>3\lvert r_2\rvert\gt3
∣r1∣>3\lvert r_1\rvert\gt3 or ∣r2∣>3\lvert r_2\rvert\gt3
∣r1∣>2\lvert r_1\rvert\gt2 y ∣r2∣>2\lvert r_2\rvert\gt2
∣r1∣>2\lvert r_1\rvert\gt2 and ∣r2∣>2\lvert r_2\rvert\gt2
r1<0r_1\lt0 y r2<0r_2\lt0
r1<0r_1\lt0 and r2<0r_2\lt0
∣r1+r2∣<42\lvert r_1+r_2\rvert\lt4\sqrt2
Respuesta: A
Conceptos:cuadráticaFórmulas de Vietadesigualdad
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
Dos raíces reales distintas exigen que el discriminante sea positivo
Distinct real roots require the discriminant to be positive
Pista grande:
Usa r1+r2=−pr_1+r_2=-p
Use r1+r2=−pr_1+r_2=-p
Solución:
La condición del discriminante es p2−32>0,p^2-32\gt0, por lo que ∣p∣>42.\lvert p\rvert\gt4\sqrt2. Por las fórmulas de Vieta, r1+r2=−p,r_1+r_2=-p, y por tanto ∣r1+r2∣=∣p∣>42. \lvert r_1+r_2\rvert=\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The discriminant condition is p2−32>0,p^2-32\gt0, so ∣p∣>42.\lvert p\rvert\gt4\sqrt2. By Vieta’s formulas, r1+r2=−p,r_1+r_2=-p, and therefore ∣r1+r2∣=∣p∣>42. \lvert r_1+r_2\rvert=\lvert p\rvert\gt4\sqrt2.
Therefore, the correct answer is A.

18.

Si x2−5x+6<0x^2-5x+6\lt0 y P=x2+5x+6,P=x^2+5x+6, entonces
If x2−5x+6<0x^2-5x+6\lt0 and P=x2+5x+6,P=x^2+5x+6, then
PP puede tomar cualquier valor real
PP can take any real value
20<P<3020\lt P\lt30
0<P<200\lt P\lt20
P<0P\lt0
P>30P\gt30
Respuesta: B
Conceptos:cuadráticadesigualdadrango
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Factoriza x2−5x+6x^2-5x+6 para ubicar xx
Factor x2−5x+6x^2-5x+6 to locate xx
Pista grande:
Revisa cómo varía x2+5x+6x^2+5x+6 en ese intervalo
Check how x2+5x+6x^2+5x+6 varies on that interval
Solución:
La desigualdad (x−2)(x−3)<0(x-2)(x-3)\lt0 da 2<x<3.2\lt x\lt3. En este intervalo, P=x2+5x+6P=x^2+5x+6 es creciente, con valores extremos P(2)=20P(2)=20 y P(3)=30.P(3)=30. Los extremos están excluidos, por lo que 20<P<30.20\lt P\lt30.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The inequality (x−2)(x−3)<0(x-2)(x-3)\lt0 gives 2<x<3.2\lt x\lt3. On this interval P=x2+5x+6P=x^2+5x+6 is increasing, with endpoint values P(2)=20P(2)=20 and P(3)=30.P(3)=30. The endpoints are excluded, so 20<P<30.20\lt P\lt30.
Therefore, the correct answer is B.

19.

El área de un rectángulo no cambia cuando se alarga 2122\dfrac12 pulgadas y se estrecha 23\dfrac23 de pulgada, ni cuando se acorta 2122\dfrac12 pulgadas y se ensancha 43\dfrac43 de pulgada. Su área, en pulgadas cuadradas, es:
The area of a rectangle remains unchanged when it is made 2122\dfrac12 inches longer and 23\dfrac23 inch narrower, or when it is made 2122\dfrac12 inches shorter and 43\dfrac43 inch wider. Its area, in square inches, is:
3030
803\dfrac{80}{3}
2424
452\dfrac{45}{2}
2020
Respuesta: E
Conceptos:rectángulosistema de ecuacionesárea
Nivel de dificultad: 1920
Pista pequeña:
Sean ll y ww el largo y el ancho originales
Let the original length and width be ll and ww
Pista grande:
Desarrolla ambas ecuaciones de áreas iguales; los términos lwlw se cancelan
Expand both equal-area equations; the lwlw terms cancel
Solución:
Las dos condiciones son lw=(l+52)(w−23),lw=(l−52)(w+43). \begin{aligned} lw&=\left(l+\frac52\right)\left(w-\frac23\right),\\ lw&=\left(l-\frac52\right)\left(w+\frac43\right). \end{aligned} Al desarrollar, dan −4l+15w=10-4l+15w=10 y 8l−15w=20.8l-15w=20. Por tanto, l=152,l=\frac{15}{2}, w=83,w=\frac{8}{3}, y lw=20.lw=20.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The two conditions are lw=(l+52)(w−23),lw=(l−52)(w+43). \begin{aligned} lw&=\left(l+\frac52\right)\left(w-\frac23\right),\\ lw&=\left(l-\frac52\right)\left(w+\frac43\right). \end{aligned} After expanding, these give −4l+15w=10-4l+15w=10 and 8l−15w=20.8l-15w=20. Hence l=152,l=\frac{15}{2}, w=83,w=\frac{8}{3}, and lw=20.lw=20.
Therefore, the correct answer is E.

20.

Se inscribe un círculo en un cuadrado de lado m,m, luego un cuadrado en ese círculo, después un círculo en este último cuadrado, y así sucesivamente. Si SnS_n es la suma de las áreas de los primeros nn círculos así inscritos, entonces, cuando nn crece sin límite, SnS_n se aproxima a:
A circle is inscribed in a square of side m,m, then a square is inscribed in that circle, then a circle is inscribed in the latter square, and so on. If SnS_n is the sum of the areas of the first nn circles so inscribed, then, as nn grows beyond all bounds, SnS_n approaches:
πm22\dfrac{\pi m^2}{2}
3πm28\dfrac{3\pi m^2}{8}
πm23\dfrac{\pi m^2}{3}
πm24\dfrac{\pi m^2}{4}
πm28\dfrac{\pi m^2}{8}
Respuesta: A
Conceptos:área del círculosucesión geométricasumatoria
Nivel de dificultad: 1480
Pista pequeña:
El primer círculo tiene área πm24\frac{\pi m^2}{4}
The first circle has area πm24\frac{\pi m^2}{4}
Pista grande:
Cada círculo sucesivo tiene la mitad del área del círculo anterior
Each successive circle has half the preceding circle’s area
Solución:
El primer círculo tiene área π(m2)2=πm24.\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}. Cada cuadrado inscrito reduce el cuadrado del radio del círculo siguiente, y por tanto su área, por un factor de 12.\frac{1}{2}. Así, la suma límite es πm24(1+12+14+⋯ )=πm22. \begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The first circle has area π(m2)2=πm24.\pi(\frac{m}{2})^2=\frac{\pi m^2}{4}. Each inscribed square reduces the next circle’s squared radius, and hence its area, by a factor of 12.\frac{1}{2}. Thus the limiting sum is πm24(1+12+14+⋯ )=πm22. \begin{aligned} &\frac{\pi m^2}{4} \left(1+\frac12+\frac14+\cdots\right)\\ &\qquad=\frac{\pi m^2}{2}. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is A.

21.

En el triángulo rectángulo ABCABC, la hipotenusa AB=5AB=5 y el cateto AC=3.AC=3. La bisectriz del ángulo AA corta al lado opuesto en A1.A_1. Se construye entonces un segundo triángulo rectángulo PQRPQR, con hipotenusa PQ=A1BPQ=A_1B y cateto PR=A1C.PR=A_1C. Si la bisectriz del ángulo PP corta al lado opuesto en P1,P_1, la longitud de PP1PP_1 es:
In right triangle ABCABC the hypotenuse AB=5AB=5 and leg AC=3.AC=3. The bisector of angle AA meets the opposite side in A1.A_1. A second right triangle PQRPQR is then constructed with hypotenuse PQ=A1BPQ=A_1B and leg PR=A1C.PR=A_1C. If the bisector of angle PP meets the opposite side in P1,P_1, the length of PP1PP_1 is:
364\dfrac{3\sqrt6}{4}
354\dfrac{3\sqrt5}{4}
334\dfrac{3\sqrt3}{4}
322\dfrac{3\sqrt2}{2}
15216\dfrac{15\sqrt2}{16}
Respuesta: B
Conceptos:triángulo rectánguloteorema de la bisectrizsemejanza
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Usa el teorema de la bisectriz en el triángulo 33-44-55
Use the angle-bisector theorem in the 33-44-55 triangle
Pista grande:
El segundo triángulo es una copia del primero a media escala
The second triangle is a half-scale copy of the first
Solución:
Como BC=4,BC=4, el teorema de la bisectriz da A1B:A1C=5:3.A_1B:A_1C=5:3. Así, A1B=52A_1B=\frac{5}{2} y A1C=32,A_1C=\frac{3}{2}, por lo que el triángulo PQRPQR es una copia a media escala de ABC.ABC.
Para la bisectriz desde AA en el triángulo original, AA12=5⋅3(1−4282)=454, \begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned} por lo que AA1=352.AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}. Así, PP1PP_1 es la mitad, es decir, 354.\frac{3\sqrt5}{4}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since BC=4,BC=4, the angle-bisector theorem gives A1B:A1C=5:3.A_1B:A_1C=5:3. Hence A1B=52A_1B=\frac{5}{2} and A1C=32,A_1C=\frac{3}{2}, so triangle PQRPQR is a half-scale copy of ABC.ABC.
For the angle bisector from AA in the original triangle, AA12=5⋅3(1−4282)=454, \begin{aligned} AA_1^2 &=5\cdot3\left(1-\frac{4^2}{8^2}\right)\\ &=\frac{45}{4}, \end{aligned} so AA1=352.AA_1=\frac{3\sqrt5}{2}. Therefore PP1PP_1 is half of this, or 354.\frac{3\sqrt5}{4}.
Thus, the correct answer is B.

22.

Para números naturales, cuando PP se divide entre D,D, el cociente es QQ y el residuo es R.R. Cuando QQ se divide entre D′,D', el cociente es Q′Q' y el residuo es R′.R'. Entonces, cuando PP se divide entre DD′,DD', el residuo es:
For natural numbers, when PP is divided by D,D, the quotient is QQ and the remainder is R.R. When QQ is divided by D′,D', the quotient is Q′Q' and the remainder is R′.R'. Then, when PP is divided by DD′,DD', the remainder is:
R+R′DR+R'D
R′+RDR'+RD
RR′RR'
RR
R′R'
Respuesta: A
Conceptos:divisibilidadaritmética modularsustitución
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Escribe P=QD+RP=QD+R y Q=Q′D′+R′Q=Q'D'+R'
Write P=QD+RP=QD+R and Q=Q′D′+R′Q=Q'D'+R'
Pista grande:
Sustituye la segunda ecuación en la primera y aísla el múltiplo de DD′DD'
Substitute the second equation into the first and isolate the multiple of DD′DD'
Solución:
La sustitución da P=(Q′D′+R′)D+R=Q′(DD′)+(R′D+R). \begin{aligned} P&=(Q'D'+R')D+R\\ &=Q'(DD')+(R'D+R). \end{aligned} Las cotas de los residuos implican R′D+R<DD′,R'D+R\lt DD', por lo que este es efectivamente el residuo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Substitution gives P=(Q′D′+R′)D+R=Q′(DD′)+(R′D+R). \begin{aligned} P&=(Q'D'+R')D+R\\ &=Q'(DD')+(R'D+R). \end{aligned} The remainder bounds imply R′D+R<DD′,R'D+R\lt DD', so this is indeed the remainder.
Therefore, the correct answer is A.

23.

Si xx es real y positivo y crece sin límite, entonces log⁡3(6x−5)−log⁡3(2x+1)\log_3(6x-5)-\log_3(2x+1) se aproxima a:
If xx is real and positive and grows beyond all bounds, then log⁡3(6x−5)−log⁡3(2x+1)\log_3(6x-5)-\log_3(2x+1) approaches:
00
11
33
44
ningún número finito
no finite number
Respuesta: B
Conceptos:logaritmoacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Combina los logaritmos en uno solo
Combine the logarithms into one logarithm
Pista grande:
Halla el límite de 6x−52x+1\frac{6x-5}{2x+1}
Find the limit of 6x−52x+1\frac{6x-5}{2x+1}
Solución:
La diferencia es log⁡3(6x−52x+1). \log_3\left(\frac{6x-5}{2x+1}\right). La fracción se aproxima a 3,3, por lo que la expresión se aproxima a log⁡33=1.\log_3 3=1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The difference is log⁡3(6x−52x+1). \log_3\left(\frac{6x-5}{2x+1}\right). The fraction approaches 3,3, so the expression approaches log⁡33=1.\log_3 3=1.
Therefore, the correct answer is B.

24.

El número de pares solución en enteros positivos de la ecuación 3x+5y=5013x+5y=501 es:
The number of solution-pairs in positive integers of the equation 3x+5y=5013x+5y=501 is:
3333
3434
3535
100100
ninguna de las anteriores
none of these
Respuesta: A
Conceptos:Ecuación diofánticaaritmética modularconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Reduce la ecuación módulo 55 para hallar la forma de xx
Reduce the equation modulo 55 to find the form of xx
Pista grande:
Cuenta los valores positivos x=2+5kx=2+5k que dejan y>0y\gt0
Count the positive values x=2+5kx=2+5k that leave y>0y\gt0
Solución:
Módulo 5,5, la ecuación da 3x≡1,3x\equiv1, por lo que x≡2(mod5).x\equiv2\pmod5. Escribimos x=2+5k.x=2+5k. Entonces y=501−3x5=99−3k. y=\frac{501-3x}{5}=99-3k. La positividad exige k=0,1,…,32,k=0,1,\ldots,32, lo que da 3333 pares.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Modulo 5,5, the equation gives 3x≡1,3x\equiv1, so x≡2(mod5).x\equiv2\pmod5. Write x=2+5k.x=2+5k. Then y=501−3x5=99−3k. y=\frac{501-3x}{5}=99-3k. Positivity requires k=0,1,…,32,k=0,1,\ldots,32, giving 3333 pairs.
Therefore, the correct answer is A.

25.

Para todo número impar p>1p\gt1 se cumple:
For every odd number p>1p\gt1 we have:
(p−1)p−12−1(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1 es divisible entre p−2p-2
(p−1)p−12−1(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1 is divisible by p−2p-2
(p−1)p−12+1(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1 es divisible entre pp
(p−1)p−12+1(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1 is divisible by pp
(p−1)p−12(p-1)^{\frac{p-1}{2}} es divisible entre pp
(p−1)p−12(p-1)^{\frac{p-1}{2}} is divisible by pp
(p−1)p−12+1(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1 es divisible entre p+1p+1
(p−1)p−12+1(p-1)^{\frac{p-1}{2}}+1 is divisible by p+1p+1
(p−1)p−12−1(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1 es divisible entre p−1p-1
(p−1)p−12−1(p-1)^{\frac{p-1}{2}}-1 is divisible by p−1p-1
Respuesta: A
Conceptos:divisibilidadaritmética modularexponente
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Trabaja módulo p−2p-2 para la opción (A)
Work modulo p−2p-2 for choice (A)
Pista grande:
Como p−1≡1(modp−2),p-1\equiv1\pmod{p-2}, toda potencia positiva tiene el mismo residuo
Since p−1≡1(modp−2),p-1\equiv1\pmod{p-2}, every positive power has the same residue
Solución:
Como p>1p\gt1 es impar, n=p−12n=\frac{p-1}{2} es un entero positivo. Módulo p−2,p-2, tenemos p−1≡1.p-1\equiv1. Por lo tanto, (p−1)n−1≡1n−1≡0(modp−2). \begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned} Así, la opción (A) siempre se cumple.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Because p>1p\gt1 is odd, n=p−12n=\frac{p-1}{2} is a positive integer. Modulo p−2,p-2, we have p−1≡1.p-1\equiv1. Therefore (p−1)n−1≡1n−1≡0(modp−2). \begin{aligned} (p-1)^n-1 &\equiv1^n-1\\ &\equiv0\pmod{p-2}. \end{aligned} Thus choice (A) always holds.
Therefore, the correct answer is A.

26.

Si se usa solo la información tabulada 103=1000,10^3=1000, 104=10,000,10^4=10{,}000, 210=1024,2^{10}=1024, 211=2048,2^{11}=2048, 212=4096,2^{12}=4096, 213=8192,2^{13}=8192, entonces la afirmación más precisa que puede hacerse sobre log⁡102\log_{10}2 es que está entre:
If one uses only the tabular information 103=1000,10^3=1000, 104=10,000,10^4=10{,}000, 210=1024,2^{10}=1024, 211=2048,2^{11}=2048, 212=4096,2^{12}=4096, 213=8192,2^{13}=8192, then the strongest statement one can make for log⁡102\log_{10}2 is that it lies between:
310\dfrac3{10} y 411\dfrac4{11}
310\dfrac3{10} and 411\dfrac4{11}
310\dfrac3{10} y 412\dfrac4{12}
310\dfrac3{10} and 412\dfrac4{12}
310\dfrac3{10} y 413\dfrac4{13}
310\dfrac3{10} and 413\dfrac4{13}
310\dfrac3{10} y 40132\dfrac{40}{132}
310\dfrac3{10} and 40132\dfrac{40}{132}
311\dfrac3{11} y 40132\dfrac{40}{132}
311\dfrac3{11} and 40132\dfrac{40}{132}
Respuesta: C
Conceptos:logaritmodesigualdadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1710
Pista pequeña:
Compara 10310^3 con 2102^{10} para obtener una cota inferior
Compare 10310^3 with 2102^{10} for a lower bound
Pista grande:
Compara 2132^{13} con 10410^4 para obtener una cota superior
Compare 2132^{13} with 10410^4 for an upper bound
Solución:
De 103<21010^3\lt2^{10} obtenemos 3<10log⁡102,3\lt10\log_{10}2, por lo que log⁡102>310.\log_{10}2\gt\frac{3}{10}. De 213<1042^{13}\lt10^4 obtenemos 13log⁡102<4,13\log_{10}2\lt4, por lo que log⁡102<413.\log_{10}2\lt\frac{4}{13}. Este es el intervalo más estrecho de la lista que justifica la tabla.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
From 103<21010^3\lt2^{10} we get 3<10log⁡102,3\lt10\log_{10}2, so log⁡102>310.\log_{10}2\gt\frac{3}{10}. From 213<1042^{13}\lt10^4 we get 13log⁡102<4,13\log_{10}2\lt4, so log⁡102<413.\log_{10}2\lt\frac{4}{13}. This is the narrowest listed interval justified by the table.
Therefore, the correct answer is C.

27.

Dos velas de la misma longitud están hechas de materiales distintos, de modo que una se consume por completo a ritmo uniforme en 33 horas y la otra en 44 horas. ¿A qué hora de la tarde deben encenderse para que, a las 44 P.M., el resto de una tenga el doble de longitud que el de la otra?
Two candles of the same length are made of different materials so that one burns out completely at a uniform rate in 33 hours and the other in 44 hours. At what time P.M. should the candles be lighted so that, at 44 P.M., one stub is twice the length of the other?
1:241{:}24
1:281{:}28
1:361{:}36
1:401{:}40
1:481{:}48
Respuesta: C
Conceptos:tasaecuación linealfecha y hora
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Sea tt el número de horas que arden las velas antes de las 44 P.M.
Let tt be the number of hours the candles burn before 44 P.M.
Pista grande:
Las fracciones restantes son 1−t31-\frac{t}{3} y 1−t41-\frac{t}{4}
Their remaining fractions are 1−t31-\frac{t}{3} and 1−t41-\frac{t}{4}
Solución:
Después de tt horas, las velas más rápida y más lenta conservan las fracciones 1−t31-\frac{t}{3} y 1−t41-\frac{t}{4}. El resto de la más lenta debe ser el doble del de la más rápida: 1−t4=2(1−t3). 1-\frac t4=2\left(1-\frac t3\right). Así, t=125=2t=\frac{12}{5}=2 horas 2424 minutos. Al contar hacia atrás desde las 44 P.M. se obtiene 1:361{:}36 P.M.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
After tt hours, the faster and slower candles have fractions 1−t31-\frac{t}{3} and 1−t41-\frac{t}{4} remaining. The slower stub must be twice the faster: 1−t4=2(1−t3). 1-\frac t4=2\left(1-\frac t3\right). Thus t=125=2t=\frac{12}{5}=2 hours 2424 minutes. Counting back from 44 P.M. gives 1:361{:}36 P.M.
Therefore, the correct answer is C.

28.

Dadas las dos hipótesis: I Algunos Mems no son Ens y II Ningún En es Vee. Si «algunos» significa «al menos uno», podemos concluir que:
Given the two hypotheses: I Some Mems are not Ens and II No Ens are Vees. If “some” means “at least one,” we can conclude that:
Algunos Mems no son Vees
Some Mems are not Vees
Algunos Vees no son Mems
Some Vees are not Mems
Ningún Mem es Vee
No Mem is a Vee
Algunos Mems son Vees
Some Mems are Vees
Ninguna de (A)(A), (B)(B), (C)(C) ni (D)(D) se deduce de las afirmaciones dadas
Neither (A)(A) nor (B)(B) nor (C)(C) nor (D)(D) is deducible from the given statements
Respuesta: E
Conceptos:deducción lógicaDiagrama de Venncontraejemplo
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Traduce las tres clases de objetos a conjuntos M,N,VM,N,V
Translate the three kinds of objects into sets M,N,VM,N,V
Pista grande:
Prueba tanto M=VM=V como M∩V=∅M\cap V=\varnothing manteniendo verdaderas las dos hipótesis
Test both M=VM=V and M∩V=∅M\cap V=\varnothing while keeping the two hypotheses true
Solución:
Las hipótesis solo dicen que algún elemento de MM está fuera de N,N, y que N∩V=∅.N\cap V=\varnothing. Un modelo con M=VM=V hace falsas (A), (B) y (C) mientras satisface las hipótesis. Un modelo con M∩V=∅M\cap V=\varnothing hace falsa (D). Por tanto, ninguna de las opciones (A) a (D) es forzosa.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The hypotheses say only that some element of MM lies outside N,N, and that N∩V=∅.N\cap V=\varnothing. A model with M=VM=V makes (A), (B), and (C) false while satisfying the hypotheses. A model with M∩V=∅M\cap V=\varnothing makes (D) false. Hence none of choices (A) through (D) is forced.
Therefore, the correct answer is E.

29.

ABAB es un diámetro de un círculo. Se trazan las tangentes ADAD y BCBC de modo que ACAC y BDBD se corten en un punto del círculo. Si AD=aAD=a y BC=b,BC=b, a≠b,a\ne b, el diámetro del círculo es:
ABAB is a diameter of a circle. Tangents ADAD and BCBC are drawn so that ACAC and BDBD intersect in a point on the circle. If AD=aAD=a and BC=b,BC=b, a≠b,a\ne b, the diameter of the circle is:
∣a−b∣\lvert a-b\rvert
12(a+b)\dfrac12(a+b)
ab\sqrt{ab}
aba+b\dfrac{ab}{a+b}
12⋅aba+b\dfrac12\cdot\dfrac{ab}{a+b}
Respuesta: C
Conceptos:círculorecta tangentesemejanzaángulo inscrito
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Sea PP el punto de intersección sobre el círculo; entonces ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ
Let the intersection point on the circle be PP; then ∠APB=90∘\angle APB=90^\circ
Pista grande:
Usa las tangentes paralelas para comparar los triángulos rectángulos ADBADB y BCABCA
Use the parallel tangents to compare right triangles ADBADB and BCABCA
Solución:
Sea d=ABd=AB el diámetro. Como la intersección de ACAC y BDBD está sobre el círculo, esas dos rectas son perpendiculares por el teorema de Tales. Además, las tangentes ADAD y BCBC son paralelas. Los triángulos rectángulos resultantes ADBADB y BCABCA son semejantes, por lo que da=bd. \frac da=\frac bd. De aquí, d2=abd^2=ab y d=ab.d=\sqrt{ab}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let d=ABd=AB be the diameter. Since the intersection of ACAC and BDBD lies on the circle, those two lines are perpendicular by Thales’ theorem. Also the tangents ADAD and BCBC are parallel. The resulting right triangles ADBADB and BCABCA are similar, so da=bd. \frac da=\frac bd. Hence d2=abd^2=ab and d=ab.d=\sqrt{ab}.
Therefore, the correct answer is C.

30.

Un comerciante compró nn radios por dd dólares, siendo dd un entero positivo. Cedió dos radios a un bazar comunitario por la mitad de su costo. Vendió los demás con una ganancia de $8\$8 por cada radio. Si la ganancia total fue de $72,\$72, entonces el menor valor posible de nn según la información dada es:
A dealer bought nn radios for dd dollars, d,d, a positive integer. He contributed two radios to a community bazaar at half their cost. The rest he sold at a profit of $8\$8 on each radio sold. If the overall profit was $72,\$72, then the least possible value of nn for the given information is:
1818
1616
1515
1212
1111
Respuesta: D
Conceptos:dineroecuación linealdivisibilidad
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Cada radio cuesta dn\frac{d}{n} dólares
Each radio costs dn\frac{d}{n} dollars
Pista grande:
Escribe el ingreso total de n−2n-2 ventas con ganancia y dos ventas a mitad de costo
Write the total intake from n−2n-2 profitable sales and two half-cost sales
Solución:
Las n−2n-2 ventas regulares producen (n−2)(dn+8),(n-2)(\frac{d}{n}+8), mientras que los dos radios del bazar producen juntos dn\frac{d}{n}. Como el ingreso total es d+72,d+72, (n−2)(dn+8)+dn=d+72. \begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned} Esto se reduce a d=8n(n−11).d=8n(n-11). La positividad exige n>11,n\gt11, y n=12n=12 da el entero positivo d=96.d=96.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The n−2n-2 regular sales bring (n−2)(dn+8),(n-2)(\frac{d}{n}+8), while the two bazaar radios bring dn\frac{d}{n} together. Since the total intake is d+72,d+72, (n−2)(dn+8)+dn=d+72. \begin{aligned} &(n-2)\left(\frac dn+8\right)+\frac dn\\ &\qquad=d+72. \end{aligned} This reduces to d=8n(n−11).d=8n(n-11). Positivity requires n>11,n\gt11, and n=12n=12 gives the positive integer d=96.d=96.
Therefore, the correct answer is D.

31.

Sea D=a2+b2+c2,D=a^2+b^2+c^2, donde a,a, bb son enteros consecutivos y c=ab.c=ab. Entonces D\sqrt D es:
Let D=a2+b2+c2,D=a^2+b^2+c^2, where a,a, bb are consecutive integers and c=ab.c=ab. Then D\sqrt D is:
siempre un entero par
always an even integer
a veces un entero impar y a veces no
sometimes an odd integer, sometimes not
siempre un entero impar
always an odd integer
a veces racional y a veces no
sometimes rational, sometimes not
siempre irracional
always irrational
Respuesta: C
Conceptos:manipulación algebraicaparidadcuadrado perfecto
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Toma b=a+1b=a+1 y desarrolla DD
Set b=a+1b=a+1 and expand DD
Pista grande:
Intenta reconocer DD como el cuadrado de a2+a+1a^2+a+1
Try to recognize DD as the square of a2+a+1a^2+a+1
Solución:
Con b=a+1b=a+1 y c=a(a+1),c=a(a+1), D=a2+(a+1)2+a2(a+1)2=(a2+a+1)2. \begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned} Así, D=a2+a+1.\sqrt D=a^2+a+1. Como a(a+1)a(a+1) es par, este entero siempre es impar.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
With b=a+1b=a+1 and c=a(a+1),c=a(a+1), D=a2+(a+1)2+a2(a+1)2=(a2+a+1)2. \begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned} Thus D=a2+a+1.\sqrt D=a^2+a+1. Since a(a+1)a(a+1) is even, this integer is always odd.
Therefore, the correct answer is C.

32.

En el cuadrilátero ABCDABCD, cuyas diagonales ACAC y BDBD se cortan en O,O, se tiene BO=4,BO=4, OD=6,OD=6, AO=8,AO=8, OC=3,OC=3, y AB=6.AB=6. La longitud de ADAD es:
In quadrilateral ABCDABCD with diagonals ACAC and BDBD intersecting at O,O, BO=4,BO=4, OD=6,OD=6, AO=8,AO=8, OC=3,OC=3, and AB=6.AB=6. The length of ADAD is:
99
1010
636\sqrt3
828\sqrt2
166\sqrt{166}
Respuesta: E
Conceptos:ley de los cosenospersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1690
Pista pequeña:
Usa el triángulo AOBAOB para hallar cos⁡∠AOB\cos\angle AOB
Use triangle AOBAOB to find cos⁡∠AOB\cos\angle AOB
Pista grande:
Los ángulos AOBAOB y AODAOD son suplementarios
Angles AOBAOB and AODAOD are supplementary
Solución:
En el triángulo AOB,AOB, cos⁡∠AOB=82+42−622⋅8⋅4=1116. \begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned} Por lo tanto, cos⁡∠AOD=−1116.\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}. Al aplicar la ley de los cosenos en el triángulo AODAOD, se obtiene AD2=82+62+2(8)(6)1116=166. \begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned} Así que AD=166.AD=\sqrt{166}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
In triangle AOB,AOB, cos⁡∠AOB=82+42−622⋅8⋅4=1116. \begin{aligned} \cos\angle AOB &=\frac{8^2+4^2-6^2}{2\cdot8\cdot4}\\ &=\frac{11}{16}. \end{aligned} Therefore cos⁡∠AOD=−1116.\cos\angle AOD=-\frac{11}{16}. Applying the law of cosines in triangle AODAOD gives AD2=82+62+2(8)(6)1116=166. \begin{aligned} AD^2 &=8^2+6^2\\ &\quad+2(8)(6)\frac{11}{16}\\ &=166. \end{aligned} Hence AD=166.AD=\sqrt{166}.
Therefore, the correct answer is E.

33.

En este diagrama se construyen semicírculos sobre los diámetros AB,AB, AC,AC, y CB,CB, de modo que sean mutuamente tangentes. Si CD⊥AB,CD\perp AB, entonces la razón entre el área sombreada y el área de un círculo de radio CDCD es:
In this diagram semi-circles are constructed on diameters AB,AB, AC,AC, and CB,CB, so that they are mutually tangent. If CD⊥AB,CD\perp AB, then the ratio of the shaded area to the area of a circle with CDCD as radius is:
1:21:2
1:31:3
3:7\sqrt3:7
1:41:4
2:6\sqrt2:6
Respuesta: D
Conceptos:área del círculotriángulo rectángulorazón de áreas
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Resta del área del semicírculo grande las áreas de los dos pequeños
Subtract the two small semicircle areas from the large one
Pista grande:
En el triángulo rectángulo ADB,ADB, el teorema de la altura da CD2=AC⋅CBCD^2=AC\cdot CB
In right triangle ADB,ADB, the altitude theorem gives CD2=AC⋅CBCD^2=AC\cdot CB
Solución:
Sean AC=uAC=u y CB=v.CB=v. El área sombreada es la del semicírculo grande menos las de los dos pequeños: π8((u+v)2−u2−v2)=πuv4. \frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}. Como DD está en el semicírculo de diámetro AB,AB, el triángulo ADBADB es rectángulo y su altura satisface CD2=uv.CD^2=uv. Por lo tanto, un círculo de radio CDCD tiene área πuv.\pi uv. La razón pedida es 1:4.1:4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let AC=uAC=u and CB=v.CB=v. The shaded area is the large semicircle minus the two smaller ones: π8((u+v)2−u2−v2)=πuv4. \frac{\pi}{8}\bigl((u+v)^2-u^2-v^2\bigr) =\frac{\pi uv}{4}. Since DD lies on the semicircle with diameter AB,AB, triangle ADBADB is right, and its altitude satisfies CD2=uv.CD^2=uv. A circle of radius CDCD therefore has area πuv.\pi uv. The required ratio is 1:4.1:4.
Therefore, the correct answer is D.

34.

En los lados AB,AB, BC,BC, y CACA del triángulo ABCABC se toman respectivamente los puntos D,D, E,E, y FF, de modo que AD:DB=1:n,AD:DB=1:n, BE:CE=1:n,BE:CE=1:n, y CF:FA=1:n.CF:FA=1:n. La razón entre el área del triángulo DEFDEF y la del triángulo ABCABC es:
Points D,D, E,E, FF are taken respectively on sides AB,AB, BC,BC, and CACA of triangle ABCABC so that AD:DB=1:n,AD:DB=1:n, BE:CE=1:n,BE:CE=1:n, and CF:FA=1:n.CF:FA=1:n. The ratio of the area of triangle DEFDEF to that of triangle ABCABC is:
n2−n+1(n+1)2\dfrac{n^2-n+1}{(n+1)^2}
1(n+1)2\dfrac1{(n+1)^2}
2n3(n+1)2\dfrac{2n^3}{(n+1)^2}
n3(n+1)2\dfrac{n^3}{(n+1)^2}
n(n−1)n+1\dfrac{n(n-1)}{n+1}
Respuesta: A
Conceptos:área del triángulodescomposición de áreasrazón y proporción
Nivel de dificultad: 1710
Pista pequeña:
Resta del triángulo ABCABC los tres triángulos de las esquinas
Subtract the three corner triangles from triangle ABCABC
Pista grande:
Cada triángulo de una esquina tiene razón de áreas n(n+1)2\frac{n}{(n+1)^2}
Each corner triangle has area ratio n(n+1)2\frac{n}{(n+1)^2}
Solución:
En cada vértice, las fracciones de los dos lados adyacentes que usa el triángulo de la esquina son 1n+1\frac{1}{n+1} y nn+1.\frac{n}{n+1}. Así, el área de cada uno de esos triángulos es n(n+1)2\frac{n}{(n+1)^2} veces [ABC].[ABC]. Por lo tanto, [DEF][ABC]=1−3n(n+1)2=n2−n+1(n+1)2. \begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
At each vertex, the two adjacent side fractions used by the corner triangle are 1n+1\frac{1}{n+1} and nn+1.\frac{n}{n+1}. Thus each corner triangle has area n(n+1)2\frac{n}{(n+1)^2} times [ABC].[ABC]. Therefore [DEF][ABC]=1−3n(n+1)2=n2−n+1(n+1)2. \begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &=1-\frac{3n}{(n+1)^2}\\ &=\frac{n^2-n+1}{(n+1)^2}. \end{aligned}
Therefore, the correct answer is A.

35.

Las raíces de 64x3−144x2+92x−15=064x^3-144x^2+92x-15=0 están en progresión aritmética. La diferencia entre la mayor y la menor es:
The roots of 64x3−144x2+92x−15=064x^3-144x^2+92x-15=0 are in arithmetic progression. The difference between the largest and smallest roots is:
22
11
12\dfrac12
38\dfrac38
14\dfrac14
Respuesta: B
Conceptos:polinomiosucesión aritméticaFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 1750
Pista pequeña:
Escribe las raíces como t−d,t-d, t,t, y t+dt+d
Write the roots as t−d,t-d, t,t, and t+dt+d
Pista grande:
Usa su suma para hallar t,t, y luego su producto para hallar d2d^2
Use their sum to find t,t, then use their product to find d2d^2
Solución:
Sean las raíces t−d,t-d, t,t, y t+d.t+d. Su suma es 3t=14464=94,3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4}, por lo que t=34.t=\frac{3}{4}. Su producto es t(t2−d2)=1564. t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}. Al sustituir t=34t=\frac{3}{4}, se obtiene d2=14,d^2=\frac{1}{4}, así que la diferencia entre las raíces extremas es 2∣d∣=1.2\lvert d\rvert=1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let the roots be t−d,t-d, t,t, and t+d.t+d. Their sum is 3t=14464=94,3t=\frac{144}{64}=\frac{9}{4}, so t=34.t=\frac{3}{4}. Their product is t(t2−d2)=1564. t(t^2-d^2)=\frac{15}{64}. Substituting t=34t=\frac{3}{4} gives d2=14,d^2=\frac{1}{4}, so the difference between the extreme roots is 2∣d∣=1.2\lvert d\rvert=1.
Therefore, the correct answer is B.

36.

Se da una progresión geométrica de cinco términos, cada uno un entero positivo menor que 100.100. La suma de los cinco es 211.211. Si SS es la suma de los términos de la progresión que son cuadrados de enteros, entonces SS es:
Given a geometric progression of five terms, each a positive integer less than 100.100. The sum of the five terms is 211.211. If SS is the sum of those terms in the progression which are squares of integers, then SS is:
00
9191
133133
195195
211211
Respuesta: C
Conceptos:sucesión geométricadivisibilidadcuadrado perfectoanálisis por casos
Nivel de dificultad: 2380
Pista pequeña:
Escribe la razón común racional en su forma irreducible cd\frac{c}{d}
Write the rational common ratio in lowest terms as cd\frac{c}{d}
Pista grande:
La integridad obliga a que el término medio sea múltiplo de c2d2c^2d^2; usa que 211211 es primo
Integrality forces the middle term to be a multiple of c2d2c^2d^2; use that 211211 is prime
Solución:
Sea cd\frac{c}{d} la razón común en su forma irreducible y sea aa el término medio. Como los cinco términos son enteros, aa es divisible por c2d2,c^2d^2, así que escribimos a=kc2d2.a=kc^2d^2. Entonces la suma 211211 es divisible por k.k. Por ello, kk es 11 o 211.211. Pero el término medio aa es menor que 100,100, así que k=1.k=1.
Por lo tanto, d4+d3c+d2c2+dc3+c4=211. \begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned} La cota da c,d<4.c,d\lt4. Si alguno es 1,1, las sumas posibles son 5,5, 31,31, o 121,121, no 211.211. La coprimalidad deja entonces que cc y dd sean 22 y 33, en cualquier orden. La progresión es 16,16, 24,24, 36,36, 54,54, 81.81. Sus términos cuadrados suman 16+36+81=133.16+36+81=133.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let the common ratio be cd\frac{c}{d} in lowest terms and the middle term be a.a. Since all five terms are integers, aa is divisible by c2d2,c^2d^2, so write a=kc2d2.a=kc^2d^2. The sum 211211 is then divisible by k.k. Thus kk is 11 or 211.211. But the middle term aa is less than 100,100, so k=1.k=1.
Thus d4+d3c+d2c2+dc3+c4=211. \begin{aligned} d^4+d^3c+d^2c^2&\\ \quad+dc^3+c^4&=211. \end{aligned} The bound gives c,d<4.c,d\lt4. If either is 1,1, the possible sums are 5,5, 31,31, or 121,121, not 211.211. Coprimality therefore leaves cc and dd equal to 22 and 33 in either order. The progression is 16,16, 24,24, 36,36, 54,54, 81.81. Its square terms sum to 16+36+81=133.16+36+81=133.
Therefore, the correct answer is C.

37.

Desde los vértices del triángulo ABCABC se trazan los segmentos AD=10,AD=10, BE=6,BE=6, CF=24CF=24, cada uno perpendicular a una recta RSRS que no corta al triángulo. Los puntos D,D, E,E, FF son las intersecciones de RSRS con esas perpendiculares. Si xx es la longitud del segmento perpendicular GHGH, trazado hasta RSRS desde el punto GG de intersección de las medianas del triángulo, entonces xx es:
Segments AD=10,AD=10, BE=6,BE=6, CF=24CF=24 are drawn from the vertices of triangle ABC,ABC, each perpendicular to a straight line RS,RS, not intersecting the triangle. Points D,D, E,E, FF are the intersection points of RSRS with the perpendiculars. If xx is the length of the perpendicular segment GHGH drawn to RSRS from the intersection point GG of the medians of the triangle, then xx is:
403\dfrac{40}{3}
1616
563\dfrac{56}{3}
803\dfrac{80}{3}
indeterminado
undetermined
Respuesta: A
Conceptos:baricentrovectormedia
Nivel de dificultad: 1480
Pista pequeña:
La distancia con signo de un punto a una recta fija es una función afín
Signed distance from a point to a fixed line is an affine function
Pista grande:
El centroide es el promedio de los tres vértices
The centroid is the average of the three vertices
Solución:
Como RSRS no corta al triángulo, las tres distancias perpendiculares tienen el mismo signo. La distancia con signo a una recta fija es afín, y el centroide es el promedio de los vértices. Por lo tanto, su distancia es el promedio x=10+6+243=403. x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Because RSRS does not intersect the triangle, the three perpendicular distances have the same sign. Signed distance to a fixed line is affine, and the centroid is the average of the vertices. Therefore its distance is the average x=10+6+243=403. x=\frac{10+6+24}{3}=\frac{40}{3}.
Therefore, the correct answer is A.

38.

Se da un conjunto SS formado por dos tipos de elementos no definidos, “pib” y “maa”, y los cuatro postulados:
P1:\mathrm{P}_1: Todo pib es una colección de maas.
P2:\mathrm{P}_2: Dos pibs distintos cualesquiera tienen uno y solo un maa en común.
P3:\mathrm{P}_3: Todo maa pertenece a dos y solo dos pibs.
P4:\mathrm{P}_4: Hay exactamente cuatro pibs.
Considera los tres teoremas:
T1:\mathrm{T}_1: Hay exactamente seis maas.
T2:\mathrm{T}_2: Hay exactamente tres maas en cada pib.
T3:\mathrm{T}_3: Para cada maa hay exactamente otro maa que no comparte ningún pib con él.
Los teoremas que se deducen de los postulados son:
Given a set SS consisting of two undefined elements “pib” and “maa,” and the four postulates:
P1:\mathrm{P}_1: Every pib is a collection of maas.
P2:\mathrm{P}_2: Any two distinct pibs have one and only one maa in common.
P3:\mathrm{P}_3: Every maa belongs to two and only two pibs.
P4:\mathrm{P}_4: There are exactly four pibs.
Consider the three theorems:
T1:\mathrm{T}_1: There are exactly six maas.
T2:\mathrm{T}_2: There are exactly three maas in each pib.
T3:\mathrm{T}_3: For each maa there is exactly one other maa not in the same pib with it.
The theorems which are deducible from the postulates are:
solo T3\mathrm{T}_3
T3\mathrm{T}_3 only
solo T2\mathrm{T}_2 y T3\mathrm{T}_3
T2\mathrm{T}_2 and T3\mathrm{T}_3 only
solo T1\mathrm{T}_1 y T2\mathrm{T}_2
T1\mathrm{T}_1 and T2\mathrm{T}_2 only
solo T1\mathrm{T}_1 y T3\mathrm{T}_3
T1\mathrm{T}_1 and T3\mathrm{T}_3 only
todos
all
Respuesta: E
Conceptos:conteo básicoteoría de grafosdeducción lógica
Nivel de dificultad: 2030
Pista pequeña:
Etiqueta los cuatro pibs como 1,1, 2,2, 3,3, y 44
Label the four pibs 1,1, 2,2, 3,3, and 44
Pista grande:
Cada maa corresponde a un par no ordenado de pibs
Each maa corresponds to an unordered pair of pibs
Solución:
Etiqueta los cuatro pibs como 1,1, 2,2, 3,3, y 4.4. Por P2\mathrm P_2 y P3,\mathrm P_3, cada maa es precisamente el maa común a un par no ordenado de pibs. Por ello hay (42)=6\binom42=6 maas, lo que demuestra T1.\mathrm T_1.
Un pib fijo ii contiene los tres maas ijij con j≠i,j\ne i, lo que demuestra T2.\mathrm T_2. Para el maa ij,ij, el único maa que no comparte ninguno de esos pibs es el que pertenece al par complementario de pibs, lo que demuestra T3.\mathrm T_3. Se deducen los tres.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Label the four pibs 1,1, 2,2, 3,3, and 4.4. By P2\mathrm P_2 and P3,\mathrm P_3, every maa is exactly the common maa of one unordered pair of pibs. Thus there are (42)=6\binom42=6 maas, proving T1.\mathrm T_1.
A fixed pib ii contains the three maas ijij with j≠i,j\ne i, proving T2.\mathrm T_2. For maa ij,ij, the unique maa sharing neither pib is the one belonging to the complementary pair of pibs, proving T3.\mathrm T_3. All three follow.
Therefore, the correct answer is E.

39.

Se dan los conjuntos de enteros consecutivos {1},\{1\}, {2,3},\{2,3\}, {4,5,6},\{4,5,6\}, {7,8,9,10},\{7,8,9,10\}, …,\ldots, donde cada conjunto contiene un elemento más que el anterior y el primer elemento de cada conjunto es uno mayor que el último del conjunto precedente. Sea SnS_n la suma de los elementos del nn-ésimo conjunto. Entonces S21S_{21} es igual a:
Given the sets of consecutive integers {1},\{1\}, {2,3},\{2,3\}, {4,5,6},\{4,5,6\}, {7,8,9,10},\{7,8,9,10\}, …,\ldots, where each set contains one more element than the preceding one, and where the first element of each succeeding set is one more than the last element of the preceding set. Let SnS_n be the sum of the elements in the nnth set. Then S21S_{21} equals:
11131113
46414641
50825082
5336153361
ninguna de las anteriores
none of these
Respuesta: B
Conceptos:sucesión aritméticanúmero triangularsumatoria
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
El último número del nn-ésimo conjunto es n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
The last number in the nnth set is n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}
Pista grande:
Suma los nn enteros consecutivos que terminan en ese número
Sum the nn consecutive integers ending at that number
Solución:
El nn-ésimo conjunto termina en n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} y contiene nn enteros consecutivos. Su suma es Sn=n(n(n+1)2)−n(n−1)2=n(n2+1)2. \begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned} Por lo tanto, S21=21(442)2=4641.S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The nnth set ends at n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2} and contains nn consecutive integers. Its sum is Sn=n(n(n+1)2)−n(n−1)2=n(n2+1)2. \begin{aligned} S_n &=n\left(\frac{n(n+1)}2\right)\\ &\quad-\frac{n(n-1)}2\\ &=\frac{n(n^2+1)}2. \end{aligned} Thus S21=21(442)2=4641.S_{21}=\frac{21(442)}{2}=4641.
Therefore, the correct answer is B.

40.

Dentro del triángulo equilátero ABCABC hay un punto PP tal que PA=8,PA=8, PB=6,PB=6, y PC=10.PC=10. Al entero más cercano, el área del triángulo ABCABC es:
Located inside equilateral triangle ABCABC is a point PP such that PA=8,PA=8, PB=6,PB=6, and PC=10.PC=10. To the nearest integer the area of triangle ABCABC is:
159159
131131
9595
7979
5050
Respuesta: D
Conceptos:triángulo equiláterotransformaciónTerna pitagóricaley de los cosenosárea
Nivel de dificultad: 2370
Pista pequeña:
Gira PP 60∘60^\circ alrededor de AA, en el sentido que lleva CC a BB
Rotate PP by 60∘60^\circ about AA so that CC maps to BB
Pista grande:
El triángulo 66-88-1010 resultante determina ∠APB\angle APB
The resulting 66-88-1010 triangle determines ∠APB\angle APB
Solución:
Gira PP 60∘60^\circ alrededor de AA hasta P′.P'. Como esta rotación lleva CC a B,B, se tiene P′B=PC=10,P'B=PC=10, PP′=PA=8,PP'=PA=8, y PB=6.PB=6. Así, el triángulo PP′BPP'B es rectángulo. Además, el triángulo APP′APP' es equilátero, por lo que ∠APB=60∘+90∘=150∘.\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.
Si el triángulo equilátero tiene lado s,s, la ley de los cosenos en el triángulo APBAPB da s2=62+82−2(6)(8)cos⁡150∘=100+483. \begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned} Su área es 34s2=36+253, \frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3, cuyo entero más cercano es 79.79.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Rotate PP by 60∘60^\circ about AA to P′.P'. Since this rotation sends CC to B,B, we have P′B=PC=10,P'B=PC=10, PP′=PA=8,PP'=PA=8, and PB=6.PB=6. Thus triangle PP′BPP'B is right. Also triangle APP′APP' is equilateral, so ∠APB=60∘+90∘=150∘.\angle APB=60^\circ+90^\circ=150^\circ.
If the equilateral triangle has side s,s, the law of cosines in triangle APBAPB gives s2=62+82−2(6)(8)cos⁡150∘=100+483. \begin{aligned} s^2 &=6^2+8^2-2(6)(8)\cos150^\circ\\ &=100+48\sqrt3. \end{aligned} Its area is 34s2=36+253, \frac{\sqrt3}{4}s^2=36+25\sqrt3, whose nearest integer is 79.79.
Therefore, the correct answer is D.
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