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1954 AMC 12 第 40 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

40.

若

\left(a+\dfrac1a\right)^2=3

，则

a^3+\dfrac1{a^3}

等于：

If

\left(a+\dfrac1a\right)^2=3,

then

a^3+\dfrac1{a^3}

equals:

\dfrac{10\sqrt3}{3}

3\sqrt3

0

7\sqrt7

6\sqrt3

答案：C

知识点：代数变形立方和与立方差换元法

难度评级：1670

小提示：

令

t=a+\frac{1}{a}

，则已知条件为

t^2=3

Set

t=a+\frac{1}{a}

, so the given condition is

t^2=3

大提示：

使用

a^3+a^{-3}=t^3-3t

Use

a^3+a^{-3}=t^3-3t

解答：

令

t=a+\frac{1}{a}

。由标准立方恒等式可得

a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3)\text{。}

因为

t^2=3

，所以该表达式等于

0

。

因此，正确答案是 C。

Let

t=a+\frac{1}{a}.

The standard cubic identity gives

a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3).

Since

t^2=3,

this expression is

0.

Thus, the correct answer is C.

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