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1956 AMC 12 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

点

A

、

B

和

C

位于圆

O

上。圆在

A

点处的切线与割线

BC

交于

P

，且

B

位于

C

与

P

之间。若

BC=20

且

PA=10\sqrt3

，则

PB

等于：

The points

A,

B,

and

C

are on a circle

O.

The tangent line at

A

and the secant

BC

intersect at

P,

B

lying between

C

and

P.

If

BC=20

and

PA=10\sqrt3,

then

PB

equals:

5

10

10\sqrt3

20

30

答案：B

知识点：圆幂 tangent-secant theorem quadratic equation

难度评级：1570

小提示：

使用

PA^2=PB\cdot PC

Use

PA^2=PB\cdot PC

大提示：

若

PB=t

，则

PC=t+20

If

PB=t,

then

PC=t+20

解答：

设

PB=t

。由于

B

位于

P

与

C

之间，所以

PC=t+20

。由切割线定理，

(10\sqrt3)^2=t(t+20)\text{。}

因此

t^2+20t-300=0

，即

(t-10)(t+30)=0

。长度为正，所以

t=10

。

因此，正确答案是 B。

Let

PB=t.

Since

B

lies between

P

and

C,

we have

PC=t+20.

The tangent-secant theorem gives

(10\sqrt3)^2=t(t+20).

Thus

t^2+20t-300=0,

or

(t-10)(t+30)=0.

A length is positive, so

t=10.

Therefore, the correct answer is B.

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