1956 AMC 12 第 38 题

Question

在一个两条直角边为

a

和

b

、斜边为

c

的直角三角形中，斜边上的高为

x

，则：

In a right triangle with sides

a

and

b,

and hypotenuse

c,

the altitude drawn on the hypotenuse is

x.

Then:

ab=x^2

\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1x

a^2+b^2=2x^2

\dfrac1{x^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}

\dfrac1x=\dfrac ba

分别用两条直角边以及斜边与斜边上的高来计算三角形面积

Compute the triangle’s area using either the legs or the hypotenuse and its altitude

从

ab=cx

出发，代入

c^2=a^2+b^2

，再除以

a^2b^2x^2

From

ab=cx,

substitute

c^2=a^2+b^2

and divide by

a^2b^2x^2

令两种面积公式相等，得到

\frac12ab=\frac12cx\text{，}

所以

ab=cx

。两边平方并利用

c^2=a^2+b^2

，得到

a^2b^2=x^2(a^2+b^2)\text{。}

两边除以

a^2b^2x^2

，得到

\frac1{x^2}=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Equating two area formulas gives

\frac12ab=\frac12cx,

so

ab=cx.

Squaring and using

c^2=a^2+b^2

yields

a^2b^2=x^2(a^2+b^2).

Dividing by

a^2b^2x^2

gives

\frac1{x^2}=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}.

Thus, the correct answer is D.

其他年份的第 38 题