1961 AMC 12 第 38 题

Question

三角形

ABC

内接于半径为

r

的半圆，且其底边

AB

与直径

AB

重合。点

C

不与

A

或

B

重合。令

s=AC+BC

。则对于

C

的所有允许位置：

Triangle

ABC

is inscribed in a semicircle of radius

r

so that its base

AB

coincides with diameter

AB.

Point

C

does not coincide with either

A

or

B.

Let

s=AC+BC.

Then, for all permissible positions of

C:

s^2\le8r^2

s^2=8r^2

s^2\ge8r^2

s^2\le4r^2

s^2=4r^2

答案：A

知识点：圆周角直角三角形柯西-施瓦茨不等式

难度评级：1300

小提示：

直径所对的圆周角是直角

The angle subtended by the diameter is a right angle

大提示：

若两条直角边为

p

和

q

，比较

(p+q)^2

与

2(p^2+q^2)

If the legs are

p

and

q,

compare

(p+q)^2

with

2(p^2+q^2)

解答：

由泰勒斯定理，

ABC

在

C

处为直角。令

p=AC

、

q=BC

。则

p^2+q^2=AB^2=4r^2\text{。}

因为

(p-q)^2\ge0

，所以

2pq\le p^2+q^2

。因此

s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2\text{。}

所以，正确答案是 A。

By Thales’ theorem,

ABC

is right at

C.

Put

p=AC

and

q=BC.

Then

p^2+q^2=AB^2=4r^2.

Since

(p-q)^2\ge0,

we have

2pq\le p^2+q^2.

Therefore

s^2=(p+q)^2\le2(p^2+q^2)=8r^2.

Thus, the correct answer is A.

1961 AMC 12 第 38 题

答案：A

难度评级：1300

小提示：

大提示：

解答：

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