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1959 AMC 12 第 38 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

38.

若

4x+\sqrt{2x}=1

，则

x

：

If

4x+\sqrt{2x}=1,

then

x:

是整数

is an integer

是分数

is fractional

是无理数

is irrational

是虚数

is imaginary

可能有两个不同的值

may have two different values

答案：B

知识点：根式换元法二次方程

难度评级：1360

小提示：

令

u=\sqrt{2x}

，则

x=\frac{u^2}{2}

且

u\ge0

Set

u=\sqrt{2x},

so

x=\frac{u^2}{2}

and

u\ge0

大提示：

解所得二次方程

2u^2+u-1=0

Solve the resulting quadratic

2u^2+u-1=0

解答：

令

u=\sqrt{2x}\ge0

。由于

x=\frac{u^2}{2}

，方程变为

2u^2+u=1\text{，}

即

(2u-1)(u+1)=0

。因此

u=\frac{1}{2}

且

x=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{8}

。另一个二次方程根因

u\ge0

而不合条件。故

x

是分数。

因此，正确答案是 B。

Let

u=\sqrt{2x}\ge0.

Since

x=\frac{u^2}{2},

the equation becomes

2u^2+u=1,

or

(2u-1)(u+1)=0.

Thus

u=\frac{1}{2}

and

x=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{8}.

The other quadratic root is inadmissible because

u\ge0.

Hence

x

is fractional.

Therefore, the correct answer is B.

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