1957 AMC 12 第 38 题

Question

用一个两位数

N

减去数字倒序所得的数，结果是一个正的完全立方数。则：

From a two-digit number

N

we subtract the number with the digits reversed and find that the result is a positive perfect cube. Then:

N

的个位不能是

5

N

cannot end in

5

N

的个位可以是除

5

外的任意数字

N

can end in any digit other than

5

这样的

N

不存在

N

does not exist

恰有

7

个

N

值

there are exactly

7

values for

N

恰有

10

个

N

值

there are exactly

10

values for

N

答案：D

知识点：数字完全幂系统列举

难度评级：1630

小提示：

若两个数字满足

a>b

，则原数与倒序数之差为

9(a-b)

If the digits are

a>b,

the difference from the reversal is

9(a-b)

大提示：

差至多为

81

，所以检查不大于

81

的正完全立方数

The difference is at most

81,

so test the positive cubes no larger than

81

解答：

写成

N=10a+b

，正的差为

\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)\\ &\quad=9(a-b) \end{aligned}\text{。}

它至多为

81

。在

1

、

8

、

27

和

64

中，只有

27

能被

9

整除，所以

a-b=3

。数字对为

\begin{gathered} (3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\\ (7,4),(8,5),(9,6) \end{gathered}\text{，}

因而恰有七个

N

值。

因此，正确答案是 D。

Writing

N=10a+b,

the positive difference is

\begin{aligned} &(10a+b)-(10b+a)\\ &\quad=9(a-b). \end{aligned}

It is at most

81.

Among

1,

8,

27,

and

64,

only

27

is divisible by

9,

so

a-b=3.

The digit pairs are

\begin{gathered} (3,0),(4,1),(5,2),(6,3),\\ (7,4),(8,5),(9,6), \end{gathered}

giving exactly seven values of

N.

Thus, the correct answer is D.

1957 AMC 12 第 38 题

答案：D

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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