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1958 AMC 12 第 38 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

38.

设

r

为原点到坐标为

x

、

y

的点

P

的距离。用

s

表示比值

\frac{y}{r}

，用

c

表示比值

\frac{x}{r}

。则

s^2-c^2

的取值范围为：

Let

r

be the distance from the origin to a point

P

with coordinates

x

and

y.

Designate the ratio

\frac{y}{r}

by

s

and the ratio

\frac{x}{r}

by

c.

Then the values of

s^2-c^2

are limited to the numbers:

小于

-1

或大于

+1

，两端均不包括

less than

-1

and greater than

+1,

both excluded

小于等于

-1

或大于等于

+1

less than

-1

and greater than

+1,

both included

在

-1

与

+1

之间，两端均不包括

between

-1

and

+1,

both excluded

在

-1

与

+1

之间，两端均包括

between

-1

and

+1,

both included

仅

-1

和

+1

-1

and

+1

only

答案：D

知识点：坐标几何勾股定理不等式

难度评级：1280

小提示：

利用

r^2=x^2+y^2

建立

s^2+c^2

的关系

Use

r^2=x^2+y^2

to relate

s^2+c^2

大提示：

将

s^2-c^2

改写为

2s^2-1

Rewrite

s^2-c^2

as

2s^2-1

解答：

由于

r^2=x^2+y^2

，

s^2+c^2=\frac{y^2+x^2}{r^2}=1\text{。}

因此

s^2-c^2=2s^2-1

。因为

0\le s^2\le1

，该表达式的取值从

-1

到

1

，包括两个端点。

所以正确答案为 D。

Since

r^2=x^2+y^2,

s^2+c^2=\frac{y^2+x^2}{r^2}=1.

Thus

s^2-c^2=2s^2-1.

Because

0\le s^2\le1,

this expression ranges from

-1

through

1,

with both endpoints included.

Thus, the correct answer is D.

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