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1958 AMC 12 第 46 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

46.

当

x

小于

1

但大于

-4

时，表达式

\frac{x^2-2x+2}{2x-2}

具有：

For values of

x

less than

1

but greater than

-4,

the expression

\frac{x^2-2x+2}{2x-2}

has:

既无最大值也无最小值

no maximum or minimum value

最小值

1

a minimum value of

1

最大值

1

a maximum value of

1

最小值

-1

a minimum value of

-1

最大值

-1

a maximum value of

-1

答案：E

知识点：算术-几何平均不等式不等式最优化

难度评级：1830

小提示：

令

t=x-1

，它在给定区间内为负

Set

t=x-1,

which is negative on the given interval

大提示：

将表达式改写为

\tfrac12(t+\frac{1}{t})

，并使用

t

为负时的均值不等式

Rewrite the expression as

\tfrac12(t+\frac{1}{t})

and use the negative-

t

form of AM-GM

解答：

令

t=x-1

。则

-5\lt t\lt0

，且表达式变为

\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right)\text{。}

当

t\lt0

时，

t+\frac{1}{t}\le-2

，等号在

t=-1

时成立。此值允许且对应

x=0

。因此表达式至多为

-1

，其最大值为

-1

。

所以正确答案为 E。

Set

t=x-1.

Then

-5\lt t\lt0,

and the expression becomes

\frac{t^2+1}{2t} =\frac12\left(t+\frac1t\right).

For

t\lt0,

t+\frac{1}{t}\le-2,

with equality when

t=-1.

That value is allowed and corresponds to

x=0.

Hence the expression is at most

-1,

and its maximum is

-1.

Thus, the correct answer is E.

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