1959 AMC 12 第 42 题

Question

给定三个正整数

a

、

b

和

c

。它们的最大公因数为

D

，最小公倍数为

M

。下列哪两个陈述正确？

(1)

乘积

MD

不可能小于

abc

。

(2)

乘积

MD

不可能大于

abc

。

(3)

当且仅当

a

、

b

、

c

都是质数时，

MD

等于

abc

。

(4)

当且仅当

a

、

b

、

c

两两互质时，

MD

等于

abc

。（即任意两个数都没有大于

1

的公因数。）

Given three positive integers

a,

b,

and

c.

Their greatest common divisor is

D;

their least common multiple is

M.

Then, which two of the following statements are true?

(1)

The product

MD

cannot be less than

abc.

(2)

The product

MD

cannot be greater than

abc.

(3)

MD

equals

abc

if and only if

a,

b,

c

are each prime.

(4)

MD

equals

abc

if and only if

a,

b,

c

are relatively prime in pairs. (This means: no two have a common factor greater than

1.

)

1

、

2

1,

2

1

、

3

1,

3

1

、

4

1,

4

2

、

3

2,

3

2

、

4

2,

4

答案：E

知识点：最大公约数最小公倍数质因数分解

难度评级：1790

小提示：

对任一质数，将它在

a,b,c

中的指数按

u\le v\le w

排列

For one prime, order its exponents in

a,b,c

as

u\le v\le w

大提示：

比较它在

MD

中的指数

u+w

与在

abc

中的指数

u+v+w

Compare the exponent

u+w

in

MD

with the exponent

u+v+w

in

abc

解答：

对任一质数，设它在

a,b,c

中的指数为

u\le v\le w

。它在

MD

中的指数为

u+w

，而在

abc

中的指数为

u+v+w

。因此

MD\le abc

，证明了陈述

(2)

。对每个质数都恰有

v=0

时等号成立，这意味着没有任何质数同时整除

a,b,c

中的两个数。这正是两两互质，证明了陈述

(4)

。

因此，正确答案是 E。

For any prime, let its exponents in

a,b,c

be

u\le v\le w.

Its exponent in

MD

is

u+w,

while its exponent in

abc

is

u+v+w.

Thus

MD\le abc,

proving statement

(2).

Equality holds exactly when

v=0

for every prime, meaning no prime divides two of

a,b,c.

That is precisely pairwise relative primality, proving statement

(4).

Therefore, the correct answer is E.

1959 AMC 12 第 42 题

答案：E

难度评级：1790

小提示：

大提示：

解答：

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