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1960 AMC 12 第 32 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

32.

在图中，圆心为

O

。

\overline{AB}\perp\overline{BC}

，

ADOE

是一条直线，

\overline{AP}=\overline{AD}

，且

\overline{AB}

的长度是半径的两倍。则：

In this figure the center of the circle is

O.

\overline{AB}\perp\overline{BC},

ADOE

is a straight line,

\overline{AP}=\overline{AD},

and

\overline{AB}

has a length twice the radius. Then:

\overline{AP}^{\,2}=\overline{PB}\cdot\overline{AB}

\overline{AP}\cdot\overline{DO}=\overline{PB}\cdot\overline{AD}

\overline{AB}^{\,2}=\overline{AD}\cdot\overline{DE}

\overline{AB}\cdot\overline{AD}=\overline{OB}\cdot\overline{AO}

以上都不是

none of these

答案：A

知识点：切线圆幂圆

难度评级：2000

小提示：

设半径为

r

，用

AO

和

r

表示

AD

Let the radius be

r

and write

AD

in terms of

AO

and

r

大提示：

联合使用切线关系

AB^2=AD\cdot AE

与

AB=2r

Use the tangent relation

AB^2=AD\cdot AE

together with

AB=2r

解答：

设半径为

r

。因为

AB

在

B

点处与圆相切，所以

AB^2=AD\cdot AE\text{。}

令

AD=t

。由于割线经过圆心，

AE=t+2r

，而

AB=2r

。因此

t(t+2r)=4r^2\text{。}

另外，

AP=AD=t

，且

PB=AB-AP=2r-t

。将上式整理为

t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB\text{。}

因此

AP^2=PB\cdot AB

。

因此，正确答案是 A。

Let the radius be

r.

Since

AB

is tangent at

B,

AB^2=AD\cdot AE.

Write

AD=t.

Because the secant passes through the center,

AE=t+2r,

while

AB=2r.

Hence

t(t+2r)=4r^2.

Also

AP=AD=t

and

PB=AB-AP=2r-t.

The displayed equation rearranges to

t^2=2r(2r-t)=PB\cdot AB.

Therefore

AP^2=PB\cdot AB.

Thus, the correct answer is A.