1961 AMC 12 第 36 题

Question

在三角形

ABC

中，从

A

引出的中线垂直于从

B

引出的中线。若

BC=7

且

AC=6

，求

AB

的长度。

In triangle

ABC

the median from

A

is perpendicular to the median from

B.

If

BC=7

and

AC=6,

find the length of

AB.

4

\sqrt{17}

4.25

2\sqrt5

4.5

答案：B

知识点：中线（几何）向量坐标几何

难度评级：1710

小提示：

将

A

置于原点，用向量表示

B

和

C

Put

A

at the origin and represent

B

and

C

by vectors

大提示：

写出两条中线的方向向量，并令其点积为零

Write direction vectors for the two medians and set their dot product to zero

解答：

令

A=\mathbf0

、

B=\mathbf b

、

C=\mathbf c

，其中

|\mathbf b|=\ell

、

|\mathbf c|=6

，且

|\mathbf c-\mathbf b|=7

。从

A

和

B

引出的中线方向分别为

\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}

和

\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b

。其点积为零，故

(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0\text{。}

使用

\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2}

，化简得

\ell^2=17

。所以

AB=\sqrt{17}

。

因此，正确答案是 B。

Let

A=\mathbf0,

B=\mathbf b,

and

C=\mathbf c,

with

|\mathbf b|=\ell,

|\mathbf c|=6,

and

|\mathbf c-\mathbf b|=7.

The median directions are

\frac{\mathbf b+\mathbf c}{2}

from

A

and

\frac{\mathbf c}{2}-\mathbf b

from

B.

Their dot product is zero, so

(\mathbf b+\mathbf c)\mathbin{\cdot}(\mathbf c-2\mathbf b)=0.

Using

\mathbf b\mathbin{\cdot}\mathbf c=\frac{\ell^2+36-49}{2},

this simplifies to

\ell^2=17.

Hence

AB=\sqrt{17}.

Therefore, the correct answer is B.

1961 AMC 12 第 36 题

答案：B

难度评级：1710

小提示：

大提示：

解答：

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