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1964 AMC 12 第 31 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

31.

设

\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n \end{aligned}\text{。}

则用

f(n)

表示的

f(n+1)-f(n-1)

等于：

Let

\begin{aligned} f(n) &=\frac{5+3\sqrt5}{10} \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n\\ &\quad+\frac{5-3\sqrt5}{10} \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n. \end{aligned}

Then

f(n+1)-f(n-1),

expressed in terms of

f(n),

equals:

\dfrac12f(n)

f(n)

2f(n)+1

f^2(n)

\dfrac12\left(f^2(n)-1\right)

答案：B

知识点：递推斐波那契数列指数

难度评级：1900

小提示：

将两个指数式的底数记为

\alpha

和

\beta

Call the two exponential bases

\alpha

and

\beta

大提示：

r^2-r-1=0

的两个根都满足

r^{n+1}-r^{n-1}=r^n

Both roots of

r^2-r-1=0

satisfy

r^{n+1}-r^{n-1}=r^n

解答：

每个底数

r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}

都满足

r^2=r+1

，所以

r^2-1=r

。因此

r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n\text{。}

将此恒等式逐项用于定义中的线性组合，得

f(n+1)-f(n-1)=f(n)

。

因此，正确答案是 B。

Each base

r=\frac{1\pm\sqrt5}{2}

satisfies

r^2=r+1,

so

r^2-1=r.

Therefore

r^{n+1}-r^{n-1}=r^{n-1}(r^2-1)=r^n.

Applying this identity term by term to the defining linear combination gives

f(n+1)-f(n-1)=f(n).

Thus, the correct answer is B.