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1964 AMC 12 第 32 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

32.

若

\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a}

，则：

If

\dfrac{a+b}{b+c}=\dfrac{c+d}{d+a},

then:

a

必须等于

c

a

must equal

c

a+b+c+d

必须等于零

a+b+c+d

must equal zero

a=c

或

a+b+c+d=0

，也可能两者都成立

either

a=c

or

a+b+c+d=0,

or both

若

a=c

，则

a+b+c+d\ne0

a+b+c+d\ne0

if

a=c

a(b+c+d)=c(a+b+d)

答案：C

知识点：分式方程因式分解零积性质

难度评级：1450

小提示：

将两个分式交叉相乘

Cross-multiply the two fractions

大提示：

将所有项移到一边并提取

a-c

Move all terms to one side and factor out

a-c

解答：

交叉相乘得

(a+b)(a+d)=(b+c)(c+d)

。移去右边并分解因式，得

(a-c)(a+b+c+d)=0\text{。}

因此要么

a=c

，要么总和为零，也可能两者都成立。

因此，正确答案是 C。

Cross-multiplication gives

(a+b)(a+d)=(b+c)(c+d).

Subtracting the right side and factoring yields

(a-c)(a+b+c+d)=0.

Hence either

a=c

or the sum is zero, and both may occur.

Therefore, the correct answer is C.