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1965 AMC 12 第 34 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

34.

当

x\geq0

时，

\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}

的最小值为：

For

x\geq0,

the smallest value of

\dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)}

is:

1

2

\dfrac{25}{12}

\dfrac{13}{6}

\dfrac{34}{5}

答案：B

知识点：最优化算术-几何平均不等式换元法

难度评级：1950

小提示：

令

t=x+1\geq1

Set

t=x+1\geq1

大提示：

将表达式改写为

\frac23t+\frac{3}{2t}

Rewrite the expression as

\frac23t+\frac{3}{2t}

解答：

令

t=x+1\geq1

。因为

4x^2+8x+13=4t^2+9

，所以原式为

\frac23t+\frac{3}{2t}\text{。}

由算术平均数不小于几何平均数，该式至少为

2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2

，且在允许的

t=\frac{3}{2}

处取等号。

因此，正确答案是 B。

Let

t=x+1\geq1.

Since

4x^2+8x+13=4t^2+9,

the expression is

\frac23t+\frac{3}{2t}.

By AM-GM this is at least

2\sqrt{(\frac{2}{3})(\frac{3}{2})}=2,

with equality at

t=\frac{3}{2},

which is allowed.

Therefore, the correct answer is B.