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1967 AMC 12 第 31 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

31.

设

D=a^2+b^2+c^2

，其中

a

、

b

为相邻整数，且

c=ab

。则

\sqrt D

：

Let

D=a^2+b^2+c^2,

where

a,

b

are consecutive integers and

c=ab.

Then

\sqrt D

is:

总是偶整数

always an even integer

有时是奇整数，有时不是

sometimes an odd integer, sometimes not

总是奇整数

always an odd integer

有时是有理数，有时不是

sometimes rational, sometimes not

总是无理数

always irrational

答案：C

知识点：代数变形奇偶性完全平方数

难度评级：1500

小提示：

令

b=a+1

，并展开

D

Set

b=a+1

and expand

D

大提示：

尝试将

D

识别为

a^2+a+1

的平方

Try to recognize

D

as the square of

a^2+a+1

解答：

取

b=a+1

且

c=a(a+1)

，则

\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2 \end{aligned}\text{。}

因此

\sqrt D=a^2+a+1

。因为

a(a+1)

为偶数，所以这个整数总是奇数。

因此，正确答案是 C。

With

b=a+1

and

c=a(a+1),

\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}

Thus

\sqrt D=a^2+a+1.

Since

a(a+1)

is even, this integer is always odd.

Therefore, the correct answer is C.