1967 AMC 12 Problema 31

Question

Sea

D=a^2+b^2+c^2,

donde

a,

b

son enteros consecutivos y

c=ab.

Entonces

\sqrt D

es:

Let

D=a^2+b^2+c^2,

where

a,

b

are consecutive integers and

c=ab.

Then

\sqrt D

is:

siempre un entero par

always an even integer

a veces un entero impar y a veces no

sometimes an odd integer, sometimes not

siempre un entero impar

always an odd integer

a veces racional y a veces no

sometimes rational, sometimes not

siempre irracional

always irrational

Respuesta: C

Conceptos:manipulación algebraica paridad cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Toma

b=a+1

y desarrolla

D

Set

b=a+1

and expand

D

Pista grande:

Intenta reconocer

D

como el cuadrado de

a^2+a+1

Try to recognize

D

as the square of

a^2+a+1

Solución:

Con

b=a+1

y

c=a(a+1),

\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}

Así,

\sqrt D=a^2+a+1.

Como

a(a+1)

es par, este entero siempre es impar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

With

b=a+1

and

c=a(a+1),

\begin{aligned} D&=a^2+(a+1)^2+a^2(a+1)^2\\ &=(a^2+a+1)^2. \end{aligned}

Thus

\sqrt D=a^2+a+1.

Since

a(a+1)

is even, this integer is always odd.

Therefore, the correct answer is C.