1970 AMC 12 第 31 题

Question

从所有数位和等于

43

的五位数中随机选取一个数。这个数能被

11

整除的概率是多少？

If a number is selected at random from the set of all five-digit numbers in which the sum of the digits is equal to

43,

what is the probability that this number will be divisible by

11?

\frac{2}{5}

\frac{1}{5}

\frac{1}{6}

\frac{1}{11}

\frac{1}{15}

答案：B

知识点：数字整除性基本计数基本概率

难度评级：2300

小提示：

从

99999

出发；数位和为

43

意味着总共减少

2

Start from

99999

; a digit sum of

43

means a total deficit of

2

大提示：

可能情况是出现一个

7

或两个

8

；应用

11

的交错和整除判别法

The possibilities are one

7

or two

8

s; apply the divisibility-by-

11

alternating-sum test

解答：

五位数最大的数位和为

45

，所以数位和为

43

的数相对于

99999

总共减少

2

。一种情况是一个数位为

7

，其余数位为

9

，共有

5

个数；另一种情况是两个数位为

8

，其余数位为

9

，共有

\binom52=10

个数。因此总共有

15

个数。

利用

11

的整除判别法，恰有

97999,\qquad 99979,\qquad 98989

能被

11

整除。因此概率为

\frac{3}{15}=\frac{1}{5}

。

因此，正确答案是 B。

The maximum five-digit digit sum is

45,

so a sum of

43

has total deficit

2

from

99999.

Either one digit is

7

and the others are

9

, giving

5

numbers, or two digits are

8

and the others are

9

, giving

\binom52=10

numbers. Thus there are

15

numbers total.

Using the divisibility-by-

11

test, exactly

97999,\qquad 99979,\qquad 98989

are divisible by

11.

The probability is therefore

\frac{3}{15}=\frac{1}{5}.

Therefore, the correct answer is B.

1970 AMC 12 第 31 题

答案：B

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

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