1951 AMC 12 Problema 37

Question

Un número que al dividirse entre

10

deja residuo

9,

al dividirse entre

9

deja residuo

8,

al dividirse entre

8

deja residuo

7,

y así sucesivamente, hasta que al dividirse entre

2

deja residuo

1,

es:

A number which when divided by

10

leaves a remainder of

9,

when divided by

9

leaves a remainder of

8,

by

8

leaves a remainder of

7,

etc., down to where, when divided by

2,

it leaves a remainder of

1,

is:

59

419

1259

2519

Ninguna de las anteriores

None of these answers

Respuesta: D

Conceptos:mínimo común múltiplo aritmética modular

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Al sumar

1

al número buscado se eliminan todos los residuos indicados

Adding

1

to the desired number removes every listed remainder

Pista grande:

Halla

\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,10)

Find

\operatorname{lcm}(2,3,\ldots,10)

Solución:

Si el número es

N,

entonces

N+1

es divisible por todos los enteros desde

2

hasta

10.

Su mínimo común múltiplo es

2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520.

Por lo tanto, el menor número positivo que satisface todas las condiciones es

N=2520-1=2519.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the number is

N,

then

N+1

is divisible by every integer from

2

through

10.

Their least common multiple is

2^3\cdot3^2\cdot5\cdot7=2520.

Thus the least positive number fitting all the conditions is

N=2520-1=2519.

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 Problema 37

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 37 en otros años