1959 AMC 12 Problema 37

Question

Al simplificarse, el producto

\begin{aligned} &\left(1-\dfrac13\right)\left(1-\dfrac14\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1-\dfrac15\right)\cdots\left(1-\dfrac1n\right) \end{aligned}

se convierte en:

When simplified the product

\begin{aligned} &\left(1-\dfrac13\right)\left(1-\dfrac14\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1-\dfrac15\right)\cdots\left(1-\dfrac1n\right) \end{aligned}

becomes:

\dfrac1n

\dfrac2n

\dfrac{2(n-1)}n

\dfrac{2}{n(n+1)}

\dfrac{3}{n(n+1)}

Reescribe cada factor

1-\frac{1}{k}

como

\frac{k-1}{k}

Rewrite each factor

1-\frac{1}{k}

as

\frac{k-1}{k}

Escribe los primeros factores y cancela numeradores y denominadores adyacentes

Write out the first few factors and cancel adjacent numerators and denominators

El producto es telescópico:

\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdots\frac{n-1}{n} =\frac2n.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product telescopes:

\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdots\frac{n-1}{n} =\frac2n.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 37 en otros años