1951 AMC 12 Problema 40

Question

La expresión

\begin{aligned} &\left(\frac{(x+1)^2(x^2-x+1)^2}{(x^3+1)^2}\right)^2\\ &\quad{}\cdot \left(\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)^2}{(x^3-1)^2}\right)^2 \end{aligned}

es igual a:

The expression

\begin{aligned} &\left(\frac{(x+1)^2(x^2-x+1)^2}{(x^3+1)^2}\right)^2\\ &\quad{}\cdot \left(\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)^2}{(x^3-1)^2}\right)^2 \end{aligned}

equals:

(x+1)^4

(x^3+1)^4

1

\big[(x^3+1)(x^3-1)\big]^2

\big[(x^3-1)^2\big]^2

Factoriza

x^3+1

y

x^3-1

Factor

x^3+1

and

x^3-1

Usa

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

y la fórmula análoga para la diferencia

Use

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

and the analogous difference formula

Como

\begin{aligned} x^3+1&=(x+1)(x^2-x+1),\\ x^3-1&=(x-1)(x^2+x+1), \end{aligned}

cada fracción entre paréntesis es igual a

1

donde la expresión original está definida. Por lo tanto, el producto de sus cuadrados es

1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because

\begin{aligned} x^3+1&=(x+1)(x^2-x+1),\\ x^3-1&=(x-1)(x^2+x+1), \end{aligned}

each fraction inside parentheses equals

1

wherever the original expression is defined. Their squared product is therefore

1.

Thus, the correct answer is C.

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