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Problemas del 1954 AMC 12

50 problemas · 75 minutos

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1.

El cuadrado de 5−y2−255-\sqrt{y^2-25} es:
The square of 5−y2−255-\sqrt{y^2-25} is:
y2−5y2−25y^2-5\sqrt{y^2-25}
−y2-y^2
y2y^2
(5−y)2(5-y)^2
y2−10y2−25y^2-10\sqrt{y^2-25}
Respuesta: E
Conceptos:radicalmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Usa (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Use (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
Pista grande:
La constante 2525 se cancela con el −25-25 que queda al elevar el radical al cuadrado
The constant 2525 cancels with the −25-25 inside the squared radical
Solución:
Al desarrollar se obtiene (5−y2−25)2=25−10y2−25+y2−25=y2−10y2−25. \begin{aligned} &\left(5-\sqrt{y^2-25}\right)^2\\ &\quad=25-10\sqrt{y^2-25}\\ &\qquad{}+y^2-25\\ &\quad=y^2-10\sqrt{y^2-25}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Expanding gives (5−y2−25)2=25−10y2−25+y2−25=y2−10y2−25. \begin{aligned} &\left(5-\sqrt{y^2-25}\right)^2\\ &\quad=25-10\sqrt{y^2-25}\\ &\qquad{}+y^2-25\\ &\quad=y^2-10\sqrt{y^2-25}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is E.

2.

Al eliminar las fracciones, la ecuación 2x2x−1−2x+73+4−6xx−1+1=0 \begin{aligned} \frac{2x^2}{x-1}-\frac{2x+7}{3} &{}+\frac{4-6x}{x-1}\\ &{}+1=0 \end{aligned} se puede transformar en x2−5x+4=0.x^2-5x+4=0. Las raíces de esta última ecuación son 44 y 1.1. Entonces las raíces de la primera ecuación son:
The equation 2x2x−1−2x+73+4−6xx−1+1=0 \begin{aligned} \frac{2x^2}{x-1}-\frac{2x+7}{3} &{}+\frac{4-6x}{x-1}\\ &{}+1=0 \end{aligned} can be transformed by eliminating fractions to the equation x2−5x+4=0.x^2-5x+4=0. The roots of the latter equation are 44 and 1.1. Then the roots of the first equation are:
44 y 11
44 and 11
solamente 11
only 11
solamente 44
only 44
ni 44 ni 11
neither 44 nor 11
44 y alguna otra raíz
44 and some other root
Respuesta: C
Conceptos:ecuación racionalpropiedad del producto nulo
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Comprueba ambas raíces en el denominador de la ecuación original
Check both roots against the denominator in the original equation
Pista grande:
Eliminar un denominador puede introducir un valor para el cual la expresión original no está definida
Clearing a denominator can introduce a value at which the original expression is undefined
Solución:
La cuadrática transformada se factoriza como (x−1)(x−4)=0.(x-1)(x-4)=0. Sin embargo, la ecuación original tiene denominador x−1,x-1, así que no está definida en x=1.x=1. La sustitución de x=4x=4 es válida y satisface la ecuación original.
Por lo tanto, la única raíz es 4,4, y la respuesta correcta es C.
The transformed quadratic factors as (x−1)(x−4)=0.(x-1)(x-4)=0. However, the original equation has denominator x−1,x-1, so it is undefined at x=1.x=1. Substitution of x=4x=4 is valid and satisfies the original equation.
Thus, the only root is 4,4, and the correct answer is C.

3.

Si xx varía como el cubo de y,y, y yy varía como la quinta raíz de z,z, entonces xx varía como la potencia nn-ésima de z,z, donde nn es:
If xx varies as the cube of y,y, and yy varies as the fifth root of z,z, then xx varies as the nnth power of z,z, where nn is:
115\dfrac1{15}
53\dfrac53
35\dfrac35
1515
88
Respuesta: C
Conceptos:razón y proporciónexponentesustitución
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Escribe x=k1y3x=k_1y^3 y y=k2z15y=k_2z^{\frac{1}{5}}
Write x=k1y3x=k_1y^3 and y=k2z15y=k_2z^{\frac{1}{5}}
Pista grande:
Sustituye la segunda ley de variación en la primera y multiplica los exponentes
Substitute the second variation law into the first and multiply the exponents
Solución:
Como yy es proporcional a z15,z^{\frac{1}{5}}, su cubo es proporcional a z35.z^{\frac{3}{5}}. Puesto que xx es proporcional a y3,y^3, x∝z35. x\propto z^{\frac{3}{5}}. Por consiguiente, n=35.n=\frac{3}{5}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Since yy is proportional to z15,z^{\frac{1}{5}}, its cube is proportional to z35.z^{\frac{3}{5}}. Because xx is proportional to y3,y^3, x∝z35. x\propto z^{\frac{3}{5}}. Hence n=35.n=\frac{3}{5}.
Thus, the correct answer is C.

4.

Si el máximo común divisor de 64326432 y 132132 se reduce en 8,8, será igual a:
If the Highest Common Divisor of 64326432 and 132132 is diminished by 8,8, it will equal:
−6-6
66
−2-2
33
44
Respuesta: E
Conceptos:máximo común divisorfactorización en primosoperaciones con números enteros
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
Usa el algoritmo de Euclides o factoriza los dos números
Use the Euclidean algorithm or factor the two numbers
Pista grande:
Su máximo común divisor es 1212
Their greatest common divisor is 1212
Solución:
El algoritmo de Euclides da gcd⁡(6432,132)=12. \gcd(6432,132)=12. Al reducir este valor en 88, se obtiene 12−8=4.12-8=4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The Euclidean algorithm gives gcd⁡(6432,132)=12. \gcd(6432,132)=12. Diminishing this by 88 gives 12−8=4.12-8=4.
Thus, the correct answer is E.

5.

Un hexágono regular está inscrito en un círculo de radio 1010 pulgadas. Su área es:
A regular hexagon is inscribed in a circle of radius 1010 inches. Its area is:
1503150\sqrt3 pulgadas cuadradas
1503150\sqrt3 sq. in.
150150 pulgadas cuadradas
150150 sq. in.
25325\sqrt3 pulgadas cuadradas
25325\sqrt3 sq. in.
600600 pulgadas cuadradas
600600 sq. in.
3003300\sqrt3 pulgadas cuadradas
3003300\sqrt3 sq. in.
Respuesta: A
Conceptos:polígono regulartriángulo equiláteroárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1360
Pista pequeña:
El lado de un hexágono regular inscrito mide lo mismo que el radio del círculo
An inscribed regular hexagon has side length equal to the circle’s radius
Pista grande:
Divide el hexágono en seis triángulos equiláteros de lado 1010
Divide the hexagon into six equilateral triangles of side 1010
Solución:
El hexágono consta de seis triángulos equiláteros de lado 10.10. Su área es 6(34⋅102)=1503 6\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot10^2\right) =150\sqrt3 pulgadas cuadradas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The hexagon consists of six equilateral triangles of side 10.10. Its area is 6(34⋅102)=1503 6\left(\frac{\sqrt3}{4}\cdot10^2\right) =150\sqrt3 square inches.
Thus, the correct answer is A.

6.

El valor de (116)a0+(116a)0\left(\dfrac1{16}\right)^{a^0}+\left(\dfrac1{16a}\right)^0 −64−12−(−32)−45{}-64^{-\frac{1}{2}}-(-32)^{-\frac{4}{5}} es:
The value of (116)a0+(116a)0\left(\dfrac1{16}\right)^{a^0}+\left(\dfrac1{16a}\right)^0 −64−12−(−32)−45{}-64^{-\frac{1}{2}}-(-32)^{-\frac{4}{5}} is:
113161\dfrac{13}{16}
13161\dfrac3{16}
11
78\dfrac78
116\dfrac1{16}
Respuesta: D
Conceptos:exponentefracciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Evalúa por separado cada uno de los cuatro términos usando a0=1a^0=1
Evaluate each of the four terms separately, using a0=1a^0=1
Pista grande:
La quinta raíz real de −32-32 es −2-2, por lo que (−32)−45=116(-32)^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}
The real fifth root of −32-32 is −2-2, so (−32)−45=116(-32)^{-\frac{4}{5}}=\frac{1}{16}
Solución:
Para los valores admisibles de a,a, los cuatro términos son 116,1,18,116. \frac1{16},\qquad 1,\qquad \frac18,\qquad \frac1{16}. Por lo tanto, la expresión es 116+1−18−116=78. \frac1{16}+1-\frac18-\frac1{16}=\frac78.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
For permissible a,a, the four terms are 116,1,18,116. \frac1{16},\qquad 1,\qquad \frac18,\qquad \frac1{16}. Therefore the expression is 116+1−18−116=78. \frac1{16}+1-\frac18-\frac1{16}=\frac78.
Thus, the correct answer is D.

7.

Un ama de casa ahorró $2.50\$2.50 al comprar un vestido en oferta. Si pagó $25\$25 por el vestido, ahorró aproximadamente:
A housewife saved $2.50\$2.50 in buying a dress on sale. If she spent $25\$25 for the dress, she saved about:
8%8\%
9%9\%
10%10\%
11%11\%
12%12\%
Respuesta: B
Conceptos:porcentajedineroestimación
Nivel de dificultad: 890
Pista pequeña:
Suma el ahorro al precio de oferta para recuperar el precio original
Add the savings to the sale price to recover the original price
Pista grande:
Calcula 2.5027.50\frac{2.50}{27.50} como porcentaje
Compute 2.5027.50\frac{2.50}{27.50} as a percentage
Solución:
El precio original era de $27.50.\$27.50. La fracción ahorrada fue 2.5027.50=111≈0.0909, \frac{2.50}{27.50}=\frac1{11}\approx0.0909, es decir, aproximadamente 9%.9\%.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The original price was $27.50.\$27.50. The fraction saved was 2.5027.50=111≈0.0909, \frac{2.50}{27.50}=\frac1{11}\approx0.0909, or about 9%.9\%.
Thus, the correct answer is B.

8.

La base de un triángulo mide el doble que el lado de un cuadrado, y sus áreas son iguales. Entonces la razón entre la altura del triángulo y el lado del cuadrado es:
The base of a triangle is twice as long as a side of a square and their areas are the same. Then the ratio of the altitude of the triangle to the side of the square is:
14\dfrac14
12\dfrac12
11
22
44
Respuesta: C
Conceptos:área del triángulocuadrado (geometría)razón y proporción
Nivel de dificultad: 890
Pista pequeña:
Sea ss el lado del cuadrado y hh la altura del triángulo
Let the square’s side be ss and the triangle’s altitude be hh
Pista grande:
Iguala s2s^2 con 12(2s)h\tfrac12(2s)h
Equate s2s^2 with 12(2s)h\tfrac12(2s)h
Solución:
Si el lado del cuadrado es s,s, la base del triángulo es 2s.2s. La igualdad de áreas da s2=12(2s)h=sh. s^2=\frac12(2s)h=sh. Por lo tanto, h=s,h=s, así que la razón pedida es 1.1.
La respuesta correcta es C.
If the square side is s,s, the triangle base is 2s.2s. Equal areas give s2=12(2s)h=sh. s^2=\frac12(2s)h=sh. Thus h=s,h=s, so the requested ratio is 1.1.
The correct answer is C.

9.

Un punto PP está fuera de un círculo y a 1313 pulgadas de su centro. Una secante trazada desde PP corta el círculo en QQ y RR, de modo que el segmento exterior PQ‾\overline{PQ} mide 99 pulgadas y QR‾\overline{QR} mide 77 pulgadas. El radio del círculo es:
A point PP is outside a circle and is 1313 inches from the center. A secant from PP cuts the circle at QQ and RR so that the external segment of the secant PQ‾\overline{PQ} is 99 inches and QR‾\overline{QR} is 77 inches. The radius of the circle is:
33 pulgadas
33 in.
44 pulgadas
44 in.
55 pulgadas
55 in.
66 pulgadas
66 in.
77 pulgadas
77 in.
Respuesta: C
Conceptos:potencia de un puntocírculo
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
La potencia de la secante es el producto de la longitud exterior por la longitud de la secante completa
The secant power is the external length times the whole secant length
Pista grande:
Iguala 9(9+7)9(9+7) con 132−r213^2-r^2
Equate 9(9+7)9(9+7) with 132−r213^2-r^2
Solución:
La potencia de PP es PQ⋅PR=9(16)=144. PQ\cdot PR=9(16)=144. También es 132−r2,13^2-r^2, así que 169−r2=144.169-r^2=144. Por consiguiente, r2=25r^2=25 y r=5r=5 pulgadas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The power of PP is PQ⋅PR=9(16)=144. PQ\cdot PR=9(16)=144. It is also 132−r2,13^2-r^2, so 169−r2=144.169-r^2=144. Hence r2=25r^2=25 and r=5r=5 inches.
Thus, the correct answer is C.

10.

La suma de los coeficientes numéricos en el desarrollo del binomio (a+b)6(a+b)^6 es:
The sum of the numerical coefficients in the expansion of the binomial (a+b)6(a+b)^6 is:
3232
1616
6464
4848
77
Respuesta: C
Conceptos:teorema del binomio
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
La suma de los coeficientes se obtiene eligiendo valores convenientes de aa y bb
The coefficient sum is obtained by choosing convenient values of aa and bb
Pista grande:
Haz a=b=1a=b=1
Set a=b=1a=b=1
Solución:
Al hacer a=b=1a=b=1, cada monomio vale 1,1, por lo que el valor del desarrollo es igual a la suma de sus coeficientes. Por lo tanto, la suma es (1+1)6=64. (1+1)^6=64.
La respuesta correcta es C.
Setting a=b=1a=b=1 makes every monomial equal to 1,1, so the value of the expansion equals the sum of its coefficients. Thus the sum is (1+1)6=64. (1+1)^6=64.
The correct answer is C.

11.

Un comerciante exhibió varios vestidos, cada uno con un precio marcado. Luego colocó un letrero que decía: «13\dfrac13 de descuento en estos vestidos». El costo de los vestidos era 34\dfrac34 del precio al que realmente los vendió. Entonces la razón entre el costo y el precio marcado era:
A merchant placed on display some dresses, each with a marked price. He then posted a sign “13\dfrac13 off on these dresses.” The cost of the dresses was 34\dfrac34 of the price at which he actually sold them. Then the ratio of the cost to the marked price was:
12\dfrac12
13\dfrac13
14\dfrac14
23\dfrac23
34\dfrac34
Respuesta: A
Conceptos:porcentajedinerorazón y proporción
Nivel de dificultad: 1290
Pista pequeña:
El precio de venta es 23\frac{2}{3} del precio marcado
The selling price is 23\frac{2}{3} of the marked price
Pista grande:
El costo es 34\frac{3}{4} de ese precio de venta
The cost is 34\frac{3}{4} of that selling price
Solución:
Si el precio marcado es M,M, entonces el precio de venta es 2M3.\frac{2M}{3}. Por lo tanto, el costo es 34⋅23M=12M. \frac34\cdot\frac23M=\frac12M. La razón entre el costo y el precio marcado es 12.\frac{1}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
If the marked price is M,M, then the selling price is 2M3.\frac{2M}{3}. The cost is therefore 34⋅23M=12M. \frac34\cdot\frac23M=\frac12M. The cost-to-marked-price ratio is 12.\frac{1}{2}.
Thus, the correct answer is A.

12.

La solución del sistema 2x−3y=7,4x−6y=20 \begin{aligned} 2x-3y&=7,\\ 4x-6y&=20 \end{aligned} es:
The solution of the equations 2x−3y=7,4x−6y=20 \begin{aligned} 2x-3y&=7,\\ 4x-6y&=20 \end{aligned} is:
x=18,x=18, y y=12y=12
x=18,x=18, and y=12y=12
x=0,x=0, y y=0y=0
x=0,x=0, and y=0y=0
no hay solución
There is no solution
hay una cantidad ilimitada de soluciones
There are an unlimited number of solutions
x=8,x=8, y y=5y=5
x=8,x=8, and y=5y=5
Respuesta: C
Conceptos:sistema de ecuacionesrectas paralelas
Nivel de dificultad: 1360
Pista pequeña:
Compara el segundo miembro izquierdo con el doble del primero
Compare the second left-hand side with twice the first
Pista grande:
Al duplicar la primera ecuación, el miembro derecho tendría que ser 1414, no 2020
Doubling the first equation would require the right-hand side to be 1414, not 2020
Solución:
El miembro izquierdo de la segunda ecuación es exactamente el doble del miembro izquierdo de la primera, pero su miembro derecho no es el doble de 7.7. Las ecuaciones exigirían que una misma expresión fuera igual tanto a 1414 como a 20,20, lo cual es imposible.
Por lo tanto, no hay solución y la respuesta correcta es C.
The left side of the second equation is exactly twice the left side of the first, but its right side is not twice 7.7. The equations would require the same expression to equal both 1414 and 20,20, which is impossible.
Thus, there is no solution, and the correct answer is C.

13.

Un cuadrilátero está inscrito en un círculo. Si en los cuatro arcos determinados por los lados del cuadrilátero se inscriben ángulos sin que corten los lados entre vértices, su suma será:
A quadrilateral is inscribed in a circle. If angles are inscribed in the four arcs cut off by the sides of the quadrilateral, without intersecting the sides between vertices, their sum will be:
180∘180^\circ
540∘540^\circ
360∘360^\circ
450∘450^\circ
1080∘1080^\circ
Respuesta: B
Conceptos:ángulo inscritoarcosuma de ángulos
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Sean a,b,c,da,b,c,d las medidas de los cuatro arcos consecutivos
Let the four consecutive arc measures be a,b,c,da,b,c,d
Pista grande:
Un ángulo cuyo vértice está en el arco de medida aa intercepta los otros tres arcos, cuya medida total es 360∘−a360^\circ-a
An angle whose vertex lies in the arc of measure aa intercepts the other three arcs, of total measure 360∘−a360^\circ-a
Solución:
Sean a,b,c,d,a,b,c,d, las medidas de los cuatro arcos, cuya suma es 360∘.360^\circ. El ángulo situado en el arco de medida aa intercepta los otros tres arcos, por lo que mide 360∘−a2,\frac{360^\circ-a}{2}, y lo mismo ocurre con los demás. Su suma es 4(360∘)−(a+b+c+d)2=1080∘2=540∘. \begin{aligned} &\frac{4(360^\circ)-(a+b+c+d)}2\\ &\qquad=\frac{1080^\circ}{2}\\ &\qquad=540^\circ. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let the four arcs have measures a,b,c,d,a,b,c,d, whose sum is 360∘.360^\circ. The angle placed in the arc of measure aa intercepts the other three arcs, so it measures 360∘−a2,\frac{360^\circ-a}{2}, and similarly for the others. Their sum is 4(360∘)−(a+b+c+d)2=1080∘2=540∘. \begin{aligned} &\frac{4(360^\circ)-(a+b+c+d)}2\\ &\qquad=\frac{1080^\circ}{2}\\ &\qquad=540^\circ. \end{aligned}
Thus, the correct answer is B.

14.

Al simplificar, 1+(x4−12x2)2\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2} es igual a:
When simplified 1+(x4−12x2)2\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2} equals:
x4+2x2−12x2\dfrac{x^4+2x^2-1}{2x^2}
x4−12x2\dfrac{x^4-1}{2x^2}
x2+12\dfrac{\sqrt{x^2+1}}2
x22\dfrac{x^2}{\sqrt2}
x22+12x2\dfrac{x^2}{2}+\dfrac1{2x^2}
Respuesta: E
Conceptos:radicalcuadrado perfectomanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Escribe 11 con denominador 4x44x^4
Put 11 over the denominator 4x44x^4
Pista grande:
El numerador se convierte en 4x4+(x4−1)2=(x4+1)24x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2
The numerator becomes 4x4+(x4−1)2=(x4+1)24x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2
Solución:
Para x≠0,x\ne0, 1+(x4−12x2)2=4x4+(x4−1)24x4=(x4+1)24x4. \begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned} Como x2>0,x^2\gt0, su raíz cuadrada es x4+12x2=x22+12x2. \frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
For x≠0,x\ne0, 1+(x4−12x2)2=4x4+(x4−1)24x4=(x4+1)24x4. \begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned} Because x2>0,x^2\gt0, its square root is x4+12x2=x22+12x2. \frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.
Thus, the correct answer is E.

15.

log⁡125\log125 es igual a:
log⁡125\log125 equals:
100log⁡1.25100\log1.25
5log⁡35\log3
3log⁡253\log25
3−3log⁡23-3\log2
(log⁡25)(log⁡5)(\log25)(\log5)
Respuesta: D
Conceptos:logaritmomanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Escribe 125=10008125=\frac{1000}{8}
Write 125=10008125=\frac{1000}{8}
Pista grande:
Usa log⁡1000=3\log1000=3 y log⁡8=3log⁡2\log8=3\log2
Use log⁡1000=3\log1000=3 and log⁡8=3log⁡2\log8=3\log2
Solución:
Usando las leyes de los logaritmos, log⁡125=log⁡(10008)=3−log⁡(23)=3−3log⁡2. \begin{aligned} \log125 &=\log\left(\frac{1000}{8}\right)\\ &=3-\log(2^3)\\ &=3-3\log2. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Using logarithm laws, log⁡125=log⁡(10008)=3−log⁡(23)=3−3log⁡2. \begin{aligned} \log125 &=\log\left(\frac{1000}{8}\right)\\ &=3-\log(2^3)\\ &=3-3\log2. \end{aligned}
Thus, the correct answer is D.

16.

Si f(x)=5x2−2x−1,f(x)=5x^2-2x-1, entonces f(x+h)−f(x)f(x+h)-f(x) es igual a:
If f(x)=5x2−2x−1,f(x)=5x^2-2x-1, then f(x+h)−f(x)f(x+h)-f(x) equals:
5h2−2h5h^2-2h
10xh−4x+210xh-4x+2
10xh−2x−210xh-2x-2
h(10x+5h−2)h(10x+5h-2)
3h3h
Respuesta: D
Conceptos:funciónpolinomiofactorización
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Sustituye x+hx+h en el polinomio antes de restar f(x)f(x)
Substitute x+hx+h into the polynomial before subtracting f(x)f(x)
Pista grande:
Después de cancelar, extrae el factor hh
After cancellation, factor out hh
Solución:
Al desarrollar y cancelar se obtiene f(x+h)−f(x)=5(x+h)2−2(x+h)−1−(5x2−2x−1)=10xh+5h2−2h=h(10x+5h−2). \begin{gathered} f(x+h)-f(x)\\ =5(x+h)^2-2(x+h)-1\\ {}-(5x^2-2x-1)\\ =10xh+5h^2-2h\\ =h(10x+5h-2). \end{gathered}
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Expanding and canceling gives f(x+h)−f(x)=5(x+h)2−2(x+h)−1−(5x2−2x−1)=10xh+5h2−2h=h(10x+5h−2). \begin{gathered} f(x+h)-f(x)\\ =5(x+h)^2-2(x+h)-1\\ {}-(5x^2-2x-1)\\ =10xh+5h^2-2h\\ =h(10x+5h-2). \end{gathered}
Thus, the correct answer is D.

17.

La gráfica de la función f(x)=2x3−7f(x)=2x^3-7:
The graph of the function f(x)=2x3−7f(x)=2x^3-7 goes:
sube hacia la derecha y baja hacia la izquierda
up to the right and down to the left
baja hacia la derecha y sube hacia la izquierda
down to the right and up to the left
sube hacia la derecha y sube hacia la izquierda
up to the right and up to the left
baja hacia la derecha y baja hacia la izquierda
down to the right and down to the left
no se comporta de ninguna de estas maneras
none of these ways
Respuesta: A
Conceptos:polinomiofunción
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
La constante −7-7 desplaza la gráfica verticalmente, pero no cambia su comportamiento en los extremos
The constant −7-7 shifts the graph vertically but does not change its end behavior
Pista grande:
Un término principal positivo de grado impar tiende a +∞+\infty a la derecha y a −∞-\infty a la izquierda
A positive odd-degree leading term tends to +∞+\infty on the right and −∞-\infty on the left
Solución:
El término principal 2x32x^3 determina el comportamiento en los extremos. Cuando xx tiende a +∞,+\infty, f(x)f(x) tiende a +∞;+\infty; cuando xx tiende a −∞,-\infty, f(x)f(x) tiende a −∞.-\infty. Por lo tanto, la gráfica sube hacia la derecha y baja hacia la izquierda.
La respuesta correcta es A.
The leading term 2x32x^3 controls the end behavior. As xx tends to +∞,+\infty, f(x)f(x) tends to +∞;+\infty; as xx tends to −∞,-\infty, f(x)f(x) tends to −∞.-\infty. Thus the graph goes up to the right and down to the left.
The correct answer is A.

18.

De los siguientes conjuntos, el que incluye todos los valores de xx que satisfacen 2x−3>7−x2x-3\gt7-x es:
Of the following sets, the one that includes all values of xx which will satisfy 2x−3>7−x2x-3\gt7-x is:
x>4x\gt4
x<103x\lt\dfrac{10}{3}
x=103x=\dfrac{10}{3}
x>103x\gt\dfrac{10}{3}
x<0x\lt0
Respuesta: D
Conceptos:desigualdadecuación lineal
Nivel de dificultad: 1070
Pista pequeña:
Reúne los términos con xx en un lado y las constantes en el otro
Collect the xx-terms on one side and constants on the other
Pista grande:
Al sumar x+3x+3 a ambos lados se obtiene 3x>103x\gt10
Adding x+3x+3 to both sides gives 3x>103x\gt10
Solución:
Al sumar x+3x+3 a ambos lados se obtiene 3x>10, 3x\gt10, por lo que x>103.x\gt\frac{10}{3}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Adding x+3x+3 to both sides gives 3x>10, 3x\gt10, so x>103.x\gt\frac{10}{3}.
Thus, the correct answer is D.

19.

Si se unen los tres puntos de tangencia del círculo inscrito en un triángulo, los ángulos del triángulo resultante:
If the three points of contact of a circle inscribed in a triangle are joined, the angles of the resulting triangle:
siempre son iguales a 60∘60^\circ
are always equal to 60∘60^\circ
siempre son un ángulo obtuso y dos ángulos agudos desiguales
are always one obtuse angle and two unequal acute angles
siempre son un ángulo obtuso y dos ángulos agudos iguales
are always one obtuse angle and two equal acute angles
siempre son ángulos agudos
are always acute angles
siempre son desiguales entre sí
are always unequal to each other
Respuesta: D
Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradioángulo inscritocírculo
Nivel de dificultad: 1780
Pista pequeña:
Une el incentro con dos puntos de tangencia adyacentes
Join the incenter to two adjacent points of tangency
Pista grande:
El ángulo del triángulo de contacto opuesto al ángulo AA del triángulo original es 90∘−A290^\circ-\frac{A}{2}
The angle of the contact triangle opposite vertex angle AA is 90∘−A290^\circ-\frac{A}{2}
Solución:
Los radios trazados a dos puntos de tangencia adyacentes son perpendiculares a los lados correspondientes. El ángulo central entre esos radios es 180∘−A.180^\circ-A. El ángulo correspondiente del triángulo de contacto es la mitad del arco que intercepta, y resulta 90∘−A2. 90^\circ-\frac A2. Los otros dos ángulos son 90∘−B290^\circ-\frac{B}{2} y 90∘−C2.90^\circ-\frac{C}{2}. Como todo ángulo de un triángulo está estrictamente entre 0∘0^\circ y 180∘,180^\circ, los tres son agudos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The radii to two adjacent tangency points are perpendicular to the corresponding sides. The central angle between those radii is 180∘−A.180^\circ-A. The relevant angle of the contact triangle is half the intercepted arc, giving 90∘−A2. 90^\circ-\frac A2. The other two angles are 90∘−B290^\circ-\frac{B}{2} and 90∘−C2.90^\circ-\frac{C}{2}. Since every triangle angle lies strictly between 0∘0^\circ and 180∘,180^\circ, all three are acute.
Thus, the correct answer is D.

20.

La ecuación x3+6x2+11x+6=0x^3+6x^2+11x+6=0 tiene:
The equation x3+6x2+11x+6=0x^3+6x^2+11x+6=0 has:
ninguna raíz real negativa
no negative real roots
ninguna raíz real positiva
no positive real roots
ninguna raíz real
no real roots
11 raíz positiva y 22 negativas
11 positive and 22 negative roots
22 raíces positivas y 11 negativa
22 positive and 11 negative root
Respuesta: B
Conceptos:polinomiofactorizaciónpropiedad del producto nulo
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Prueba los enteros negativos pequeños sugeridos por el término constante
Test the small negative integers suggested by the constant term
Pista grande:
El polinomio se factoriza como (x+1)(x+2)(x+3)(x+1)(x+2)(x+3)
The polynomial factors as (x+1)(x+2)(x+3)(x+1)(x+2)(x+3)
Solución:
El polinomio se factoriza como x3+6x2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3). \begin{gathered} x^3+6x^2+11x+6\\ =(x+1)(x+2)(x+3). \end{gathered} Sus raíces son −1,−2,−3,-1,-2,-3, así que no tiene raíces reales positivas.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The polynomial factors as x3+6x2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3). \begin{gathered} x^3+6x^2+11x+6\\ =(x+1)(x+2)(x+3). \end{gathered} Its roots are −1,−2,−3,-1,-2,-3, so it has no positive real roots.
Thus, the correct answer is B.

21.

Las raíces de la ecuación 2x+2x−12=52\sqrt{x}+2x^{-\frac{1}{2}}=5 se pueden hallar resolviendo:
The roots of the equation 2x+2x−12=52\sqrt{x}+2x^{-\frac{1}{2}}=5 can be found by solving:
16x2−92x+1=016x^2-92x+1=0
4x2−25x+4=04x^2-25x+4=0
4x2−17x+4=04x^2-17x+4=0
2x2−21x+2=02x^2-21x+2=0
4x2−25x−4=04x^2-25x-4=0
Respuesta: C
Conceptos:radicalcuadráticamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Multiplica por x\sqrt{x} para eliminar el exponente negativo
Multiply by x\sqrt{x} to remove the negative exponent
Pista grande:
Aísla el radical en 2x+2=5x2x+2=5\sqrt{x} antes de elevar al cuadrado
Isolate the radical in 2x+2=5x2x+2=5\sqrt{x} before squaring
Solución:
Al multiplicar por x\sqrt{x} se obtiene 2x+2=5x. 2x+2=5\sqrt{x}. Al elevar al cuadrado y simplificar, 4x2+8x+4=25x, 4x^2+8x+4=25x, así que 4x2−17x+4=0. 4x^2-17x+4=0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Multiplying by x\sqrt{x} gives 2x+2=5x. 2x+2=5\sqrt{x}. Squaring and simplifying, 4x2+8x+4=25x, 4x^2+8x+4=25x, so 4x2−17x+4=0. 4x^2-17x+4=0.
Thus, the correct answer is C.

22.

La expresión 2x2−x(x+1)(x−2)\dfrac{2x^2-x}{(x+1)(x-2)} −4+x(x+1)(x−2){}-\dfrac{4+x}{(x+1)(x-2)} no se puede evaluar para x=−1x=-1 ni para x=2,x=2, porque no se permite dividir entre cero. Para otros valores de x:x:
The expression 2x2−x(x+1)(x−2)\dfrac{2x^2-x}{(x+1)(x-2)} −4+x(x+1)(x−2){}-\dfrac{4+x}{(x+1)(x-2)} cannot be evaluated for x=−1x=-1 or x=2,x=2, since division by zero is not allowed. For other values of x:x:
La expresión toma muchos valores distintos.
The expression takes on many different values.
La expresión tiene únicamente el valor 2.2.
The expression has only the value 2.2.
La expresión tiene únicamente el valor 1.1.
The expression has only the value 1.1.
La expresión siempre tiene un valor entre −1-1 y 2.2.
The expression always has a value between −1-1 and 2.2.
La expresión tiene un valor mayor que 22 o menor que −1.-1.
The expression has a value greater than 22 or less than −1.-1.
Respuesta: B
Conceptos:factorizaciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Combina las dos fracciones sobre su denominador común
Combine the two fractions over their common denominator
Pista grande:
El numerador se factoriza como 2(x+1)(x−2)2(x+1)(x-2)
The numerator factors as 2(x+1)(x−2)2(x+1)(x-2)
Solución:
Al combinar los numeradores se obtiene 2x2−x−(4+x)=2x2−2x−4=2(x+1)(x−2). \begin{gathered} 2x^2-x-(4+x)\\ =2x^2-2x-4\\ =2(x+1)(x-2). \end{gathered} Para los valores permitidos x≠−1,2,x\ne-1,2, los factores se cancelan y la expresión es igual a 2.2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Combining the numerators gives 2x2−x−(4+x)=2x2−2x−4=2(x+1)(x−2). \begin{gathered} 2x^2-x-(4+x)\\ =2x^2-2x-4\\ =2(x+1)(x-2). \end{gathered} For the allowed values x≠−1,2,x\ne-1,2, the factors cancel and the expression equals 2.2.
Thus, the correct answer is B.

23.

Si la ganancia sobre un artículo que cuesta CC dólares y se vende por SS dólares es M=1nC,M=\dfrac1nC, entonces la ganancia está dada por:
If the margin made on an article costing CC dollars and selling for SS dollars is M=1nC,M=\dfrac1nC, then the margin is given by:
M=1n−1SM=\dfrac1{n-1}S
M=1nSM=\dfrac1nS
M=nn+1SM=\dfrac n{n+1}S
M=1n+1SM=\dfrac1{n+1}S
M=nn−1SM=\dfrac n{n-1}S
Respuesta: D
Conceptos:razón y proporciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Usa S=C+MS=C+M junto con M=CnM=\frac{C}{n}
Use S=C+MS=C+M together with M=CnM=\frac{C}{n}
Pista grande:
Expresa CC en términos de SS y luego divide entre nn
Express CC in terms of SS, then divide by nn
Solución:
Como S=C+M=C+Cn,S=C+M=C+\frac{C}{n}, S=n+1nC,C=nn+1S. \begin{aligned} S&=\frac{n+1}{n}C,\\ C&=\frac n{n+1}S. \end{aligned} Por lo tanto, M=Cn=1n+1S. M=\frac Cn=\frac1{n+1}S.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Since S=C+M=C+Cn,S=C+M=C+\frac{C}{n}, S=n+1nC,C=nn+1S. \begin{aligned} S&=\frac{n+1}{n}C,\\ C&=\frac n{n+1}S. \end{aligned} Therefore M=Cn=1n+1S. M=\frac Cn=\frac1{n+1}S.
Thus, the correct answer is D.

24.

Los valores de kk para los cuales la ecuación 2x2−kx+x+8=02x^2-kx+x+8=0 tiene raíces reales e iguales son:
The values of kk for which the equation 2x2−kx+x+8=02x^2-kx+x+8=0 will have real and equal roots are:
99 y −7-7
99 and −7-7
solamente −7-7
only −7-7
99 y 77
99 and 77
−9-9 y −7-7
−9-9 and −7-7
solamente 99
only 99
Respuesta: A
Conceptos:cuadráticacuadrado perfecto
Nivel de dificultad: 1450
Pista pequeña:
Combina los términos lineales para escribir el coeficiente de xx como 1−k1-k
Combine the linear terms to write the coefficient of xx as 1−k1-k
Pista grande:
Iguala a cero el discriminante (1−k)2−64(1-k)^2-64
Set the discriminant (1−k)2−64(1-k)^2-64 equal to zero
Solución:
Una raíz real repetida exige que (1−k)2−4(2)(8)=0. (1-k)^2-4(2)(8)=0. Por lo tanto, (1−k)2=64,(1-k)^2=64, de modo que 1−k=±8.1-k=\pm8. Los dos valores son k=9k=9 y k=−7.k=-7.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
A repeated real root requires (1−k)2−4(2)(8)=0. (1-k)^2-4(2)(8)=0. Thus (1−k)2=64,(1-k)^2=64, so 1−k=±8.1-k=\pm8. The two values are k=9k=9 and k=−7.k=-7.
Thus, the correct answer is A.

25.

Las dos raíces de la ecuación a(b−c)x2+b(c−a)x+c(a−b)=0 \begin{aligned} a(b-c)x^2+b(c-a)x\\ {}+c(a-b)&=0 \end{aligned} son 11 y:
The two roots of the equation a(b−c)x2+b(c−a)x+c(a−b)=0 \begin{aligned} a(b-c)x^2+b(c-a)x\\ {}+c(a-b)&=0 \end{aligned} are 11 and:
b(c−a)a(b−c)\dfrac{b(c-a)}{a(b-c)}
a(b−c)c(a−b)\dfrac{a(b-c)}{c(a-b)}
a(b−c)b(c−a)\dfrac{a(b-c)}{b(c-a)}
c(a−b)a(b−c)\dfrac{c(a-b)}{a(b-c)}
c(a−b)b(c−a)\dfrac{c(a-b)}{b(c-a)}
Respuesta: D
Conceptos:Fórmulas de Vietacuadrática
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Usa el producto de las raíces en lugar de resolver la cuadrática
Use the product of the roots rather than solving the quadratic
Pista grande:
El producto es el término constante dividido entre el coeficiente principal
The product is the constant coefficient divided by the leading coefficient
Solución:
Por las fórmulas de Vieta, el producto de las dos raíces es c(a−b)a(b−c). \frac{c(a-b)}{a(b-c)}. Como una raíz es 1,1, la otra es igual a este producto.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
By Vieta’s formulas, the product of the two roots is c(a−b)a(b−c). \frac{c(a-b)}{a(b-c)}. Since one root is 1,1, the other root equals this product.
Thus, the correct answer is D.

26.

El segmento rectilíneo ABAB queda dividido en CC de modo que AC‾=3CB‾.\overline{AC}=3\overline{CB}. Se trazan círculos cuyos diámetros son AC‾\overline{AC} y CB‾\overline{CB}, y una tangente común corta en DD la prolongación de AB‾\overline{AB}. Entonces BD‾\overline{BD} es igual a:
The straight line ABAB is divided at CC so that AC‾=3CB‾.\overline{AC}=3\overline{CB}. Circles are described on AC‾\overline{AC} and CB‾\overline{CB} as diameters and a common tangent meets AB‾\overline{AB} produced at D.D. Then BD‾\overline{BD} equals:
el diámetro del círculo menor
the diameter of the smaller circle
el radio del círculo menor
the radius of the smaller circle
el radio del círculo mayor
the radius of the larger circle
CB‾3\overline{CB}\sqrt3
la diferencia de los dos radios
the difference of the two radii
Respuesta: B
Conceptos:circunferencias tangentesrecta tangentehomotecia
Nivel de dificultad: 1700
Pista pequeña:
El punto DD es el centro exterior de homotecia de los dos círculos
The point DD is the external center of similitude of the two circles
Pista grande:
Sea CB‾=u\overline{CB}=u y compara en la razón 3:13:1 las distancias desde DD a los dos centros
Let CB‾=u\overline{CB}=u and compare the distances from DD to the two centers in the ratio 3:13:1
Solución:
Sea CB‾=u,\overline{CB}=u, de modo que AC‾=3u\overline{AC}=3u y AB‾=4u.\overline{AB}=4u. Medidos desde A,A, los centros de los círculos están en 3u2\frac{3u}{2} y 7u2,\frac{7u}{2}, y sus radios están en razón 3:1.3:1. Si AD=z,AD=z, la tangente exterior común hace que DD sea el centro exterior de homotecia, por lo que z−32uz−72u=3. \frac{z-\frac32u}{z-\frac72u}=3. Así, z=9u2,z=\frac{9u}{2}, y BD=z−4u=u2, BD=z-4u=\frac u2, que es el radio del círculo menor.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let CB‾=u,\overline{CB}=u, so AC‾=3u\overline{AC}=3u and AB‾=4u.\overline{AB}=4u. Measured from A,A, the circle centers are at 3u2\frac{3u}{2} and 7u2,\frac{7u}{2}, and their radii are in the ratio 3:1.3:1. If AD=z,AD=z, the common external tangent makes DD the external center of similitude, so z−32uz−72u=3. \frac{z-\frac32u}{z-\frac72u}=3. Hence z=9u2,z=\frac{9u}{2}, and BD=z−4u=u2, BD=z-4u=\frac u2, which is the radius of the smaller circle.
Thus, the correct answer is B.

27.

Un cono circular recto tiene como base un círculo del mismo radio que una esfera dada. El volumen del cono es la mitad del volumen de la esfera. La razón entre la altura del cono y el radio de su base es:
A right circular cone has for its base a circle having the same radius as a given sphere. The volume of the cone is one-half that of the sphere. The ratio of the altitude of the cone to the radius of its base is:
11\dfrac11
12\dfrac12
23\dfrac23
21\dfrac21
54\sqrt{\dfrac54}
Respuesta: D
Conceptos:conoesferavolumen
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Escribe ambos volúmenes usando su radio común rr
Write both volumes using their common radius rr
Pista grande:
Iguala 13πr2h\frac13\pi r^2h con la mitad de 43πr3\frac43\pi r^3
Set 13πr2h\frac13\pi r^2h equal to half of 43πr3\frac43\pi r^3
Solución:
La condición sobre los volúmenes es 13πr2h=12(43πr3). \frac13\pi r^2h=\frac12\left(\frac43\pi r^3\right). Al cancelar los factores comunes se obtiene h=2r,h=2r, así que la razón pedida es 2:1.2:1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The volume condition is 13πr2h=12(43πr3). \frac13\pi r^2h=\frac12\left(\frac43\pi r^3\right). Cancelling the common factors gives h=2r,h=2r, so the requested ratio is 2:1.2:1.
Thus, the correct answer is D.

28.

Si mn=43\dfrac mn=\dfrac43 y rt=914,\dfrac rt=\dfrac9{14}, el valor de 3mr−nt4nt−7mr\dfrac{3mr-nt}{4nt-7mr} es:
If mn=43\dfrac mn=\dfrac43 and rt=914,\dfrac rt=\dfrac9{14}, the value of 3mr−nt4nt−7mr\dfrac{3mr-nt}{4nt-7mr} is:
−512-5\dfrac12
−1114-\dfrac{11}{14}
−114-1\dfrac14
1114\dfrac{11}{14}
−23-\dfrac23
Respuesta: B
Conceptos:razón y proporciónfracciónsustitución
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Las razones dadas implican mr:nt=(mn)(rt)mr:nt=(\frac{m}{n})(\frac{r}{t})
The given ratios imply mr:nt=(mn)(rt)mr:nt=(\frac{m}{n})(\frac{r}{t})
Pista grande:
Escribe mr=6kmr=6k y nt=7knt=7k
Write mr=6kmr=6k and nt=7knt=7k
Solución:
Al multiplicar las dos razones dadas, mrnt=43⋅914=67. \frac{mr}{nt}=\frac43\cdot\frac9{14}=\frac67. Escribe mr=6kmr=6k y nt=7k.nt=7k. Entonces 3mr−nt4nt−7mr=18k−7k28k−42k=−1114. \begin{aligned} \frac{3mr-nt}{4nt-7mr} &=\frac{18k-7k}{28k-42k}\\ &=-\frac{11}{14}. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Multiplying the two given ratios, mrnt=43⋅914=67. \frac{mr}{nt}=\frac43\cdot\frac9{14}=\frac67. Put mr=6kmr=6k and nt=7k.nt=7k. Then 3mr−nt4nt−7mr=18k−7k28k−42k=−1114. \begin{aligned} \frac{3mr-nt}{4nt-7mr} &=\frac{18k-7k}{28k-42k}\\ &=-\frac{11}{14}. \end{aligned}
Thus, the correct answer is B.

29.

Si la razón de los catetos de un triángulo rectángulo es 1:2,1:2, entonces la razón de los segmentos correspondientes en que la perpendicular trazada desde el vértice divide la hipotenusa es:
If the ratio of the legs of a right triangle is 1:2,1:2, then the ratio of the corresponding segments of the hypotenuse made by a perpendicular upon it from the vertex is:
1:41:4
1:21:\sqrt2
1:21:2
1:51:\sqrt5
1:51:5
Respuesta: A
Conceptos:triángulo rectánguloalturasemejanza
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
Los dos segmentos de la hipotenusa son las proyecciones de los catetos
The two hypotenuse segments are the projections of the legs
Pista grande:
Por semejanza, su razón es la razón de los cuadrados de los catetos correspondientes
By similarity, their ratio is the ratio of the squares of the corresponding legs
Solución:
Si los catetos tienen longitudes aa y b,b, sus proyecciones sobre la hipotenusa miden a2c\frac{a^2}{c} y b2c.\frac{b^2}{c}. Por lo tanto, su razón es a2:b2.a^2:b^2. Como a:b=1:2,a:b=1:2, esta razón es 1:4.1:4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
If the legs have lengths aa and b,b, their projections on the hypotenuse have lengths a2c\frac{a^2}{c} and b2c.\frac{b^2}{c}. Their ratio is therefore a2:b2.a^2:b^2. With a:b=1:2,a:b=1:2, this is 1:4.1:4.
Thus, the correct answer is A.

30.

AA y BB juntos pueden hacer un trabajo en 22 días; BB y CC, en cuatro días; y AA y CC, en 2252\dfrac25 días. El número de días que necesita AA para hacer el trabajo solo es:
AA and BB together can do a job in 22 days; BB and CC can do it in four days; and AA and CC in 2252\dfrac25 days. The number of days required for AA to do the job alone is:
11
33
66
1212
2.82.8
Respuesta: B
Conceptos:tasasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Sean a,b,ca,b,c las fracciones del trabajo que cada persona completa por día
Let a,b,ca,b,c be the fractions of the job completed per day
Pista grande:
Suma a+b=12a+b=\frac{1}{2} y a+c=512a+c=\frac{5}{12}, y luego resta b+c=14b+c=\frac{1}{4}
Add a+b=12a+b=\frac{1}{2} and a+c=512a+c=\frac{5}{12}, then subtract b+c=14b+c=\frac{1}{4}
Solución:
Sean a,b,ca,b,c las tasas diarias individuales. Entonces a+b=12,b+c=14,a+c=512. \begin{aligned} a+b&=\frac12,\\ b+c&=\frac14,\\ a+c&=\frac5{12}. \end{aligned} Por lo tanto, 2a=(a+b)+(a+c)−(b+c)=12+512−14=23, \begin{aligned} 2a&=(a+b)+(a+c)\\ &\quad{}-(b+c)\\ &=\frac12+\frac5{12}-\frac14\\ &=\frac23, \end{aligned} así que a=13.a=\frac{1}{3}. Por consiguiente, AA necesita 33 días.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let a,b,ca,b,c be the individual daily rates. Then a+b=12,b+c=14,a+c=512. \begin{aligned} a+b&=\frac12,\\ b+c&=\frac14,\\ a+c&=\frac5{12}. \end{aligned} Thus 2a=(a+b)+(a+c)−(b+c)=12+512−14=23, \begin{aligned} 2a&=(a+b)+(a+c)\\ &\quad{}-(b+c)\\ &=\frac12+\frac5{12}-\frac14\\ &=\frac23, \end{aligned} so a=13.a=\frac{1}{3}. Therefore AA needs 33 days.
Thus, the correct answer is B.

31.

En el triángulo ABC,ABC, AB‾=AC‾,\overline{AB}=\overline{AC}, y ∠A=40∘.\angle A=40^\circ. El punto OO está dentro del triángulo y cumple ∠OBC≅∠OCA.\angle OBC\cong\angle OCA. El número de grados del ángulo BOCBOC es:
In triangle ABC,ABC, AB‾=AC‾,\overline{AB}=\overline{AC}, ∠A=40∘.\angle A=40^\circ. Point OO is within the triangle with ∠OBC≅∠OCA.\angle OBC\cong\angle OCA. The number of degrees in angle BOCBOC is:
110110
3535
140140
5555
7070
Respuesta: A
Conceptos:triángulo isóscelespersecución de ángulossuma de ángulos
Nivel de dificultad: 1780
Pista pequeña:
Los dos ángulos de la base del triángulo ABCABC miden 70∘70^\circ
The base angles of triangle ABCABC are both 70∘70^\circ
Pista grande:
Si los ángulos iguales miden x,x, entonces la otra parte del ángulo CC mide 70∘−x70^\circ-x
If the equal angles are x,x, then the other part of angle CC is 70∘−x70^\circ-x
Solución:
Los ángulos de la base del triángulo isósceles son ∠ABC=∠BCA=70∘. \angle ABC=\angle BCA=70^\circ. Sea ∠OBC=∠OCA=x.\angle OBC=\angle OCA=x. Entonces ∠OCB=70∘−x.\angle OCB=70^\circ-x. En el triángulo BOC,BOC, ∠BOC=180∘−x−(70∘−x)=110∘. \begin{aligned} \angle BOC &=180^\circ-x\\ &\quad{}-(70^\circ-x)\\ &=110^\circ. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The base angles of the isosceles triangle are ∠ABC=∠BCA=70∘. \angle ABC=\angle BCA=70^\circ. Put ∠OBC=∠OCA=x.\angle OBC=\angle OCA=x. Then ∠OCB=70∘−x.\angle OCB=70^\circ-x. In triangle BOC,BOC, ∠BOC=180∘−x−(70∘−x)=110∘. \begin{aligned} \angle BOC &=180^\circ-x\\ &\quad{}-(70^\circ-x)\\ &=110^\circ. \end{aligned}
Thus, the correct answer is A.

32.

Los factores de x4+64x^4+64 son:
The factors of x4+64x^4+64 are:
(x2+8)2(x^2+8)^2
(x2+8)(x2−8)(x^2+8)(x^2-8)
(x2+2x+4)(x2−8x+16)(x^2+2x+4)(x^2-8x+16)
(x2−4x+8)(x2−4x−8)(x^2-4x+8)(x^2-4x-8)
(x2−4x+8)(x2+4x+8)(x^2-4x+8)(x^2+4x+8)
Respuesta: E
Conceptos:factorizacióndiferencia de cuadrados
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
Suma y resta 16x216x^2 para formar una diferencia de cuadrados
Add and subtract 16x216x^2 to form a difference of squares
Pista grande:
Escribe x4+64=(x2+8)2−(4x)2x^4+64=(x^2+8)^2-(4x)^2
Write x4+64=(x2+8)2−(4x)2x^4+64=(x^2+8)^2-(4x)^2
Solución:
Usando una diferencia de cuadrados, x4+64=(x2+8)2−16x2=(x2−4x+8)⋅(x2+4x+8). \begin{aligned} x^4+64 &=(x^2+8)^2-16x^2\\ &=(x^2-4x+8)\\ &\quad{}\cdot(x^2+4x+8). \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Using a difference of squares, x4+64=(x2+8)2−16x2=(x2−4x+8)⋅(x2+4x+8). \begin{aligned} x^4+64 &=(x^2+8)^2-16x^2\\ &=(x^2-4x+8)\\ &\quad{}\cdot(x^2+4x+8). \end{aligned}
Thus, the correct answer is E.

33.

Un banco cobra $6\$6 por un préstamo de $120.\$120. El prestatario recibe $114\$114 y paga el préstamo en 1212 cuotas mensuales de $10\$10. La tasa de interés es aproximadamente:
A bank charges $6\$6 for a loan of $120.\$120. The borrower receives $114\$114 and repays the loan in 1212 installments of $10\$10 a month. The interest rate is approximately:
5%5\%
6%6\%
7%7\%
9%9\%
15%15\%
Respuesta: D
Conceptos:dineroporcentajemedia
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
El cargo de $6\$6 es el interés sobre un saldo que disminuye $10\$10 cada mes
The $6\$6 charge is interest on a balance that decreases by $10\$10 each month
Pista grande:
Aproxima el capital pendiente promedio mediante el promedio de $120\$120 y $10\$10
Approximate the average outstanding principal by the average of $120\$120 and $10\$10
Solución:
El saldo disminuye en pasos iguales de $10\$10, desde $120\$120 hasta $10,\$10, por lo que su valor pendiente promedio es aproximadamente 120+102=65. \frac{120+10}{2}=65. Por lo tanto, el cargo anual es de aproximadamente 665⋅100%≈9.2%. \frac6{65}\cdot100\%\approx9.2\%. La opción más cercana es 9%.9\%.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The balance decreases in equal $10\$10 steps from $120\$120 to $10,\$10, so its average outstanding value is approximately 120+102=65. \frac{120+10}{2}=65. The annual charge is therefore about 665⋅100%≈9.2%. \frac6{65}\cdot100\%\approx9.2\%. The nearest choice is 9%.9\%.
Thus, the correct answer is D.

34.

La fracción 13:\dfrac13:
The fraction 13:\dfrac13:
es igual a 0.333333330.33333333
equals 0.333333330.33333333
es menor que 0.333333330.33333333 por 13⋅108\dfrac1{3\cdot10^8}
is less than 0.333333330.33333333 by 13⋅108\dfrac1{3\cdot10^8}
es menor que 0.333333330.33333333 por 13⋅109\dfrac1{3\cdot10^9}
is less than 0.333333330.33333333 by 13⋅109\dfrac1{3\cdot10^9}
es mayor que 0.333333330.33333333 por 13⋅108\dfrac1{3\cdot10^8}
is greater than 0.333333330.33333333 by 13⋅108\dfrac1{3\cdot10^8}
es mayor que 0.333333330.33333333 por 13⋅109\dfrac1{3\cdot10^9}
is greater than 0.333333330.33333333 by 13⋅109\dfrac1{3\cdot10^9}
Respuesta: D
Conceptos:decimalfracciónvalor posicional
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Escribe 0.333333330.33333333 como 33333333108\frac{33333333}{10^8}
Write 0.333333330.33333333 as 33333333108\frac{33333333}{10^8}
Pista grande:
Resta este decimal finito de 13\frac{1}{3} usando el denominador 3⋅1083\cdot10^8
Subtract this terminating decimal from 13\frac{1}{3} using the denominator 3⋅1083\cdot10^8
Solución:
Exactamente, 13−33333333108=108−3(33333333)3⋅108=13⋅108. \begin{gathered} \frac13-\frac{33333333}{10^8}\\ =\frac{10^8-3(33333333)} {3\cdot10^8}\\ =\frac1{3\cdot10^8}. \end{gathered} Por lo tanto, 13\frac{1}{3} es mayor por la cantidad indicada.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Exactly, 13−33333333108=108−3(33333333)3⋅108=13⋅108. \begin{gathered} \frac13-\frac{33333333}{10^8}\\ =\frac{10^8-3(33333333)} {3\cdot10^8}\\ =\frac1{3\cdot10^8}. \end{gathered} Thus 13\frac{1}{3} is greater by the stated amount.
Thus, the correct answer is D.

35.

En el triángulo rectángulo mostrado, la suma de las distancias BM‾\overline{BM} y MA‾\overline{MA} es igual a la suma de las distancias BC‾\overline{BC} y CA‾.\overline{CA}. Si MB‾=x,\overline{MB}=x, CB‾=h,\overline{CB}=h, y CA‾=d,\overline{CA}=d, entonces xx es igual a:
In the right triangle shown the sum of the distances BM‾\overline{BM} and MA‾\overline{MA} is equal to the sum of the distances BC‾\overline{BC} and CA‾.\overline{CA}. If MB‾=x,\overline{MB}=x, CB‾=h,\overline{CB}=h, and CA‾=d,\overline{CA}=d, then xx equals:
hd2h+d\dfrac{hd}{2h+d}
d−hd-h
12d\dfrac12d
h+d−2dh+d-\sqrt{2d}
h2+d2−h\sqrt{h^2+d^2}-h
Respuesta: A
Conceptos:triángulo rectánguloTeorema de Pitágorasradical
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Usa el teorema de Pitágoras para expresar MA‾\overline{MA} en términos de d,h,xd,h,x
Use the Pythagorean theorem to express MA‾\overline{MA} in terms of d,h,xd,h,x
Pista grande:
A partir de x+d2+(h+x)2=h+d,x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d, aísla el radical y eleva al cuadrado
From x+d2+(h+x)2=h+d,x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d, isolate the radical and square
Solución:
La condición y el teorema de Pitágoras dan x+d2+(h+x)2=h+d. x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d. Después de aislar el radical y elevar al cuadrado, d2+(h+x)2=(h+d−x)2. d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2. Al cancelar los términos comunes queda 4hx+2dx=2hd, 4hx+2dx=2hd, por lo que x=hd2h+d.x=\frac{hd}{2h+d}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The condition and the Pythagorean theorem give x+d2+(h+x)2=h+d. x+\sqrt{d^2+(h+x)^2}=h+d. After isolating the radical and squaring, d2+(h+x)2=(h+d−x)2. d^2+(h+x)^2=(h+d-x)^2. Cancelling common terms leaves 4hx+2dx=2hd, 4hx+2dx=2hd, so x=hd2h+d.x=\frac{hd}{2h+d}.
Thus, the correct answer is A.

36.

Un bote tiene una velocidad de 1515 millas por hora en aguas tranquilas. En una corriente de 55 millas por hora, recorre cierta distancia río abajo y regresa. La razón entre la velocidad promedio del viaje de ida y vuelta y la velocidad en aguas tranquilas es:
A boat has a speed of 1515 mph in still water. In a stream that has a current of 55 mph it travels a certain distance downstream and returns. The ratio of the average speed for the round trip to the speed in still water is:
54\dfrac54
11\dfrac11
89\dfrac89
78\dfrac78
98\dfrac98
Respuesta: C
Conceptos:distancia, velocidad y tiempovelocidad relativamedia armónica
Nivel de dificultad: 1580
Pista pequeña:
Las velocidades río abajo y río arriba son 2020 y 1010 millas por hora
The downstream and upstream speeds are 2020 mph and 1010 mph
Pista grande:
Para distancias iguales, divide el doble de la distancia entre d20+d10\frac{d}{20}+\frac{d}{10}
For equal distances, divide twice the distance by d20+d10\frac{d}{20}+\frac{d}{10}
Solución:
Para una distancia de ida d,d, el tiempo total es d20+d10=3d20. \frac d{20}+\frac d{10}=\frac{3d}{20}. Por lo tanto, la velocidad promedio de ida y vuelta es 2d3d20=403. \frac{2d}{\frac{3d}{20}}=\frac{40}{3}. Su razón con 1515 es 40315=89. \frac{\frac{40}{3}}{15}=\frac89.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
For a one-way distance d,d, the total time is d20+d10=3d20. \frac d{20}+\frac d{10}=\frac{3d}{20}. Thus the round-trip average speed is 2d3d20=403. \frac{2d}{\frac{3d}{20}}=\frac{40}{3}. Its ratio to 1515 is 40315=89. \frac{\frac{40}{3}}{15}=\frac89.
Thus, the correct answer is C.

37.

Dado el triángulo PQRPQR, donde RS‾\overline{RS} biseca ∠R,\angle R, PQ‾\overline{PQ} se prolonga hasta D,D, y ∠n\angle n es recto, entonces:
Given triangle PQRPQR with RS‾\overline{RS} bisecting ∠R,\angle R, PQ‾\overline{PQ} extended to D,D, and ∠n\angle n a right angle, then:
∠m=12(∠p−∠q)\angle m=\dfrac12(\angle p-\angle q)
∠m=12(∠p+∠q)\angle m=\dfrac12(\angle p+\angle q)
∠d=12(∠q+∠p)\angle d=\dfrac12(\angle q+\angle p)
∠d=12∠m\angle d=\dfrac12\angle m
ninguna de las anteriores es correcta
none of these is correct
Respuesta: B
Conceptos:bisectrizpersecución de ángulossuma de ángulos
Nivel de dificultad: 1780
Pista pequeña:
Antes de bisecarse, el ángulo en RR mide 180∘−∠p−∠q180^\circ-\angle p-\angle q
The bisected angle at RR measures 180∘−∠p−∠q180^\circ-\angle p-\angle q before it is halved
Pista grande:
Como la transversal es perpendicular a la bisectriz, ∠m\angle m complementa la mitad de ∠R\angle R
Since the transversal is perpendicular to the angle bisector, ∠m\angle m complements half of ∠R\angle R
Solución:
El ángulo en RR es 180∘−∠p−∠q. 180^\circ-\angle p-\angle q. Como RS‾\overline{RS} biseca este ángulo, el ángulo entre PR‾\overline{PR} y RS‾\overline{RS} es 90∘−12(∠p+∠q). 90^\circ-\frac12(\angle p+\angle q). La recta que forma ∠m\angle m es perpendicular a RS‾,\overline{RS}, por lo que ∠m=12(∠p+∠q). \angle m=\frac12(\angle p+\angle q).
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The angle at RR is 180∘−∠p−∠q. 180^\circ-\angle p-\angle q. Because RS‾\overline{RS} bisects this angle, the angle between PR‾\overline{PR} and RS‾\overline{RS} is 90∘−12(∠p+∠q). 90^\circ-\frac12(\angle p+\angle q). The line forming ∠m\angle m is perpendicular to RS‾,\overline{RS}, so ∠m=12(∠p+∠q). \angle m=\frac12(\angle p+\angle q).
Thus, the correct answer is B.

38.

Si log⁡2=0.3010\log 2=0.3010 y log⁡3=0.4771,\log 3=0.4771, el valor aproximado de xx cuando 3x+3=1353^{x+3}=135 es:
If log⁡2=0.3010\log 2=0.3010 and log⁡3=0.4771,\log 3=0.4771, the value of xx when 3x+3=1353^{x+3}=135 is approximately:
55
1.471.47
1.671.67
1.781.78
1.631.63
Respuesta: B
Conceptos:logaritmoexponenteestimación
Nivel de dificultad: 1340
Pista pequeña:
Divide entre 333^3 para obtener 3x=53^x=5
Divide by 333^3 to obtain 3x=53^x=5
Pista grande:
Usa log⁡5=1−log⁡2\log5=1-\log2 y divide entre log⁡3\log3
Use log⁡5=1−log⁡2\log5=1-\log2 and divide by log⁡3\log3
Solución:
La ecuación se reduce a 3x=5,3^x=5, así que x=log⁡5log⁡3=1−log⁡2log⁡3=0.69900.4771≈1.47. \begin{aligned} x&=\frac{\log5}{\log3}\\ &=\frac{1-\log2}{\log3}\\ &=\frac{0.6990}{0.4771}\\ &\approx1.47. \end{aligned}
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The equation reduces to 3x=5,3^x=5, so x=log⁡5log⁡3=1−log⁡2log⁡3=0.69900.4771≈1.47. \begin{aligned} x&=\frac{\log5}{\log3}\\ &=\frac{1-\log2}{\log3}\\ &=\frac{0.6990}{0.4771}\\ &\approx1.47. \end{aligned}
Thus, the correct answer is B.

39.

El lugar geométrico del punto medio de un segmento trazado desde un punto exterior fijo PP hasta un círculo dado de centro OO y radio r,r, es:
The locus of the midpoint of a line segment that is drawn from a given external point PP to a given circle with center OO and radius r,r, is:
una recta perpendicular a PO‾\overline{PO}
a straight line perpendicular to PO‾\overline{PO}
una recta paralela a PO‾\overline{PO}
a straight line parallel to PO‾\overline{PO}
un círculo de centro PP y radio rr
a circle with center PP and radius rr
un círculo con centro en el punto medio de PO‾\overline{PO} y radio 2r2r
a circle with center at the midpoint of PO‾\overline{PO} and radius 2r2r
un círculo con centro en el punto medio de PO‾\overline{PO} y radio 12r\dfrac12r
a circle with center at the midpoint of PO‾\overline{PO} and radius 12r\dfrac12r
Respuesta: E
Conceptos:transformaciónpunto mediocírculo
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Sea XX el extremo variable sobre el círculo dado y sea MM su punto medio con PP
Let the variable endpoint on the given circle be XX and its midpoint with PP be MM
Pista grande:
La transformación X↦MX\mapsto M es una homotecia de centro PP y razón 12\frac{1}{2}
The map X↦MX\mapsto M is a dilation centered at PP with scale factor 12\frac{1}{2}
Solución:
Cuando el extremo XX se mueve sobre el círculo de centro O,O, su punto medio MM con el punto fijo PP es la imagen de XX bajo una homotecia de razón 12\frac{1}{2} y centro P.P. Por lo tanto, el lugar geométrico es un círculo cuyo centro es el punto medio de PO‾\overline{PO} y cuyo radio es r2.\frac{r}{2}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
As the endpoint XX moves on the circle centered at O,O, its midpoint MM with the fixed point PP is the image of XX under a dilation of scale 12\frac{1}{2} centered at P.P. Therefore the locus is a circle whose center is the midpoint of PO‾\overline{PO} and whose radius is r2.\frac{r}{2}.
Thus, the correct answer is E.

40.

Si (a+1a)2=3,\left(a+\dfrac1a\right)^2=3, entonces a3+1a3a^3+\dfrac1{a^3} es igual a:
If (a+1a)2=3,\left(a+\dfrac1a\right)^2=3, then a3+1a3a^3+\dfrac1{a^3} equals:
1033\dfrac{10\sqrt3}{3}
333\sqrt3
00
777\sqrt7
636\sqrt3
Respuesta: C
Conceptos:manipulación algebraicasuma y diferencia de cubossustitución
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:
Sea t=a+1at=a+\frac{1}{a}; entonces la condición dada es t2=3t^2=3
Set t=a+1at=a+\frac{1}{a}, so the given condition is t2=3t^2=3
Pista grande:
Usa a3+a−3=t3−3ta^3+a^{-3}=t^3-3t
Use a3+a−3=t3−3ta^3+a^{-3}=t^3-3t
Solución:
Sea t=a+1a.t=a+\frac{1}{a}. La identidad cúbica estándar da a3+1a3=t3−3t=t(t2−3). a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3). Como t2=3,t^2=3, esta expresión es 0.0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let t=a+1a.t=a+\frac{1}{a}. The standard cubic identity gives a3+1a3=t3−3t=t(t2−3). a^3+\frac1{a^3}=t^3-3t=t(t^2-3). Since t2=3,t^2=3, this expression is 0.0.
Thus, the correct answer is C.

41.

La suma de todas las raíces de 4x3−8x2−63x−9=04x^3-8x^2-63x-9=0 es:
The sum of all the roots of 4x3−8x2−63x−9=04x^3-8x^2-63x-9=0 is:
88
22
−8-8
−2-2
00
Respuesta: B
Conceptos:Fórmulas de Vietapolinomio
Nivel de dificultad: 1260
Pista pequeña:
Usa la fórmula de Vieta para la suma de las raíces de una cúbica
Use Vieta’s formula for the sum of the roots of a cubic
Pista grande:
Cambia el signo del coeficiente de x2x^2 y divide entre el coeficiente de x3x^3
Negate the coefficient of x2x^2 and divide by the coefficient of x3x^3
Solución:
Para ax3+bx2+⋯=0,ax^3+bx^2+\cdots=0, la suma de las raíces es −ba.-\frac{b}{a}. En este caso es −−84=2. -\frac{-8}{4}=2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
For ax3+bx2+⋯=0,ax^3+bx^2+\cdots=0, the sum of the roots is −ba.-\frac{b}{a}. Here it is −−84=2. -\frac{-8}{4}=2.
Thus, the correct answer is B.

42.

Considera en el mismo sistema de ejes las gráficas de (1)(1) y=x2−12x+2y=x^2-\dfrac12x+2 y (2)(2) y=x2+12x+2y=x^2+\dfrac12x+2. Estas parábolas tienen exactamente la misma forma. Entonces:
Consider the graphs of (1)(1) y=x2−12x+2y=x^2-\dfrac12x+2 and (2)(2) y=x2+12x+2y=x^2+\dfrac12x+2 on the same set of axes. These parabolas have exactly the same shape. Then:
las gráficas coinciden.
the graphs coincide.
la gráfica de (1)(1) está más abajo que la de (2).(2).
the graph of (1)(1) is lower than the graph of (2).(2).
la gráfica de (1)(1) está a la izquierda de la de (2).(2).
the graph of (1)(1) is to the left of the graph of (2).(2).
la gráfica de (1)(1) está a la derecha de la de (2).(2).
the graph of (1)(1) is to the right of the graph of (2).(2).
la gráfica de (1)(1) está más arriba que la de (2).(2).
the graph of (1)(1) is higher than the graph of (2).(2).
Respuesta: D
Conceptos:parábolacompletar el cuadradotransformación
Nivel de dificultad: 1400
Pista pequeña:
Calcula la coordenada xx de cada vértice usando −b2a-\frac{b}{2a}
Find the xx-coordinate of each vertex using −b2a-\frac{b}{2a}
Pista grande:
La gráfica (1)(1) tiene su vértice en x=14x=\frac{1}{4}, mientras que la gráfica (2)(2) lo tiene en x=−14x=-\frac{1}{4}
Graph (1)(1) has vertex x=14x=\frac{1}{4}, whereas graph (2)(2) has vertex x=−14x=-\frac{1}{4}
Solución:
El vértice de y=x2+bx+2y=x^2+bx+2 tiene coordenada xx igual a −b2.-\frac{b}{2}. Por lo tanto, la gráfica (1)(1) tiene su vértice en x=14,x=\frac{1}{4}, mientras que la gráfica (2)(2) lo tiene en x=−14.x=-\frac{1}{4}. Las alturas de sus vértices son iguales, así que la gráfica (1)(1) es la misma parábola desplazada hacia la derecha.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The vertex of y=x2+bx+2y=x^2+bx+2 has xx-coordinate −b2.-\frac{b}{2}. Thus graph (1)(1) has its vertex at x=14,x=\frac{1}{4}, while graph (2)(2) has its vertex at x=−14.x=-\frac{1}{4}. Their vertex heights are equal, so graph (1)(1) is the same parabola shifted to the right.
Thus, the correct answer is D.

43.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 1010 pulgadas y el radio del círculo inscrito mide 11 pulgada. El perímetro del triángulo, en pulgadas, es:
The hypotenuse of a right triangle is 1010 inches and the radius of the inscribed circle is 11 inch. The perimeter of the triangle in inches is:
1515
2222
2424
2626
3030
Respuesta: B
Conceptos:triángulo rectángulocircunferencia inscrita, incentro e inradioperímetro
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Para un triángulo rectángulo con catetos a,ba,b e hipotenusa c,c, el inradio es a+b−c2\frac{a+b-c}{2}
For a right triangle with legs a,ba,b and hypotenuse c,c, the inradius is a+b−c2\frac{a+b-c}{2}
Pista grande:
Sustituye r=1r=1 y c=10c=10 para hallar a+ba+b
Substitute r=1r=1 and c=10c=10 to find a+ba+b
Solución:
Para un triángulo rectángulo, r=a+b−c2. r=\frac{a+b-c}{2}. Con r=1r=1 y c=10,c=10, se obtiene a+b=12.a+b=12. Por consiguiente, el perímetro es a+b+c=12+10=22. a+b+c=12+10=22.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
For a right triangle, r=a+b−c2. r=\frac{a+b-c}{2}. With r=1r=1 and c=10,c=10, this gives a+b=12.a+b=12. Hence the perimeter is a+b+c=12+10=22. a+b+c=12+10=22.
Thus, the correct answer is B.

44.

Un hombre nacido en la primera mitad del siglo XIX tenía xx años en el año x2.x^2. Nació en:
A man born in the first half of the nineteenth century was xx years old in the year x2.x^2. He was born in:
18491849
18251825
18121812
18361836
18061806
Respuesta: E
Conceptos:edadescuadrado perfectofecha y hora
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:
Su año de nacimiento es x2−xx^2-x
His birth year is x2−xx^2-x
Pista grande:
Usa el requisito de que x2x^2 sea un año del siglo XIX y prueba el entero cercano xx
Use the requirement that x2x^2 is a nineteenth-century year and test the nearby integer xx
Solución:
El año x2x^2 debe estar en el siglo XIX, así que x=43x=43, porque 432=184943^2=1849, mientras que los cuadrados vecinos quedan fuera del intervalo pertinente. Por lo tanto, su año de nacimiento es x2−x=1849−43=1806, x^2-x=1849-43=1806, que está en la primera mitad del siglo.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The year x2x^2 must lie in the nineteenth century, so x=43x=43 because 432=184943^2=1849 while the neighboring squares fall outside the relevant range. His birth year is therefore x2−x=1849−43=1806, x^2-x=1849-43=1806, which is in the first half of the century.
Thus, the correct answer is E.

45.

En un rombo ABCD,ABCD, se trazan dentro del rombo segmentos paralelos a la diagonal BD‾,\overline{BD}, con extremos en los lados del rombo. Se dibuja una gráfica que muestra la longitud de un segmento como función de su distancia al vértice A.A. La gráfica es:
In a rhombus ABCD,ABCD, line segments are drawn within the rhombus, parallel to diagonal BD‾,\overline{BD}, and terminated in the sides of the rhombus. A graph is drawn showing the length of a segment as a function of its distance from vertex A.A. The graph is:
una recta que pasa por el origen.
a straight line passing through the origin.
una recta que atraviesa el cuadrante superior derecho.
a straight line cutting across the upper right quadrant.
dos segmentos que forman una VV derecha
two line segments forming an upright V.V.
dos segmentos que forman una VV invertida
two line segments forming an inverted V.V.
ninguna de las anteriores.
none of these.
Respuesta: D
Conceptos:rombodiagonalinterpretación de datos y gráficas
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
Imagina que un segmento paralelo a BD‾\overline{BD} se mueve desde AA hacia el vértice opuesto
Imagine moving a segment parallel to BD‾\overline{BD} from AA toward the opposite vertex
Pista grande:
Su longitud aumenta linealmente hasta alcanzar la diagonal completa y luego disminuye linealmente hasta cero
Its length grows linearly to the full diagonal and then decreases linearly to zero
Solución:
Al comenzar en A,A, la sección paralela tiene longitud 00 y crece linealmente hasta alcanzar la diagonal BD‾.\overline{BD}. Al continuar hacia el vértice opuesto, su longitud disminuye linealmente hasta volver a 0.0. Por lo tanto, la gráfica consta de dos segmentos que forman una VV invertida.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Starting at A,A, the parallel cross section has length 00 and grows linearly until it reaches the diagonal BD‾.\overline{BD}. Continuing toward the opposite vertex, its length decreases linearly back to 0.0. The graph is therefore made of two line segments forming an inverted V.V.
Thus, the correct answer is D.

46.

En el diagrama, si los puntos A,A, B,B, y CC son puntos de tangencia, entonces xx es igual a:
In the diagram, if points A,A, B,B, and CC are points of tangency, then xx equals:
316 pulgadas\dfrac3{16}\text{ pulgadas}
316 in.\dfrac3{16}\text{ in.}
18 pulgadas\dfrac18\text{ pulgadas}
18 in.\dfrac18\text{ in.}
132 pulgadas\dfrac1{32}\text{ pulgadas}
132 in.\dfrac1{32}\text{ in.}
332 pulgadas\dfrac3{32}\text{ pulgadas}
332 in.\dfrac3{32}\text{ in.}
116 pulgadas\dfrac1{16}\text{ pulgadas}
116 in.\dfrac1{16}\text{ in.}
Respuesta: E
Conceptos:circunferencias tangentesbisectriztriángulo rectángulo especial
Nivel de dificultad: 1630
Pista pequeña:
La medida marcada de 38\frac{3}{8} de pulgada es el diámetro del círculo
The marked 38\frac{3}{8}-inch measure is the circle’s diameter
Pista grande:
Con radio 316,\frac{3}{16}, el centro está 38\frac{3}{8} de pulgada por encima del vértice de 60∘60^\circ, porque sin⁡30∘=12\sin30^\circ=\frac{1}{2}
With radius 316,\frac{3}{16}, the center is 38\frac{3}{8} inch above the 60∘60^\circ vertex because sin⁡30∘=12\sin30^\circ=\frac{1}{2}
Solución:
El radio mide 316\frac{3}{16} de pulgada. El centro está sobre la bisectriz. El radio perpendicular a cualquiera de los lados inclinados y el segmento del vértice al centro forman un triángulo rectángulo con un ángulo de 30∘30^\circ, por lo que el centro está 316sin⁡30∘=38 \frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38 de pulgada por encima del vértice. Así, la tangente superior está 38+316=916\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16} de pulgada por encima del vértice. Como la recta horizontal inferior está 12\frac{1}{2} pulgada por encima del vértice, x=916−12=116 pulgadas x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ pulgadas}
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
The radius is 316\frac{3}{16} inch. The center lies on the angle bisector. The perpendicular radius to either sloping side and the segment from the vertex to the center form a right triangle with a 30∘30^\circ angle, so the center is 316sin⁡30∘=38 \frac{\frac{3}{16}}{\sin30^\circ}=\frac38 inch above the vertex. Hence the top tangent is 38+316=916\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{9}{16} inch above the vertex. Since the ledge is 12\frac{1}{2} inch above the vertex, x=916−12=116 in. x=\frac9{16}-\frac12=\frac1{16}\text{ in.}
Thus, the correct answer is E.

47.

En el punto medio del segmento AB‾\overline{AB}, que mide pp unidades, se levanta una perpendicular MR‾\overline{MR} de longitud qq unidades. Con centro en RR se traza un arco de radio igual a 12AB‾,\dfrac12\overline{AB}, que corta AB‾\overline{AB} en T.T. Entonces AT‾\overline{AT} y TB‾\overline{TB} son las raíces de:
At the midpoint of line segment AB‾\overline{AB} which is pp units long, a perpendicular MR‾\overline{MR} is erected with length qq units. An arc is described from RR with a radius equal to 12AB‾,\dfrac12\overline{AB}, meeting AB‾\overline{AB} at T.T. Then AT‾\overline{AT} and TB‾\overline{TB} are the roots of:
x2+px+q2=0x^2+px+q^2=0
x2−px+q2=0x^2-px+q^2=0
x2+px−q2=0x^2+px-q^2=0
x2−px−q2=0x^2-px-q^2=0
x2−px+q=0x^2-px+q=0
Respuesta: B
Conceptos:Teorema de PitágorasFórmulas de Vietacírculo
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
La suma AT‾+TB‾\overline{AT}+\overline{TB} es pp
The sum AT‾+TB‾\overline{AT}+\overline{TB} is pp
Pista grande:
Usa RT=p2=AMRT=\frac{p}{2}=AM en el triángulo rectángulo RMTRMT para demostrar que AT‾⋅TB‾=q2\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2
Use RT=p2=AMRT=\frac{p}{2}=AM in right triangle RMTRMT to show AT‾⋅TB‾=q2\overline{AT}\cdot\overline{TB}=q^2
Solución:
Sea MT=t.MT=t. Como AM=BM=RT=p2,AM=BM=RT=\frac{p}{2}, el teorema de Pitágoras da t2+q2=p24. t^2+q^2=\frac{p^2}{4}. Además, AT=p2+t,TB=p2−t. AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t. Su suma es p,p, y su producto es p24−t2=q2. \frac{p^2}{4}-t^2=q^2. Por lo tanto, son las raíces de x2−px+q2=0.x^2-px+q^2=0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Let MT=t.MT=t. Since AM=BM=RT=p2,AM=BM=RT=\frac{p}{2}, the Pythagorean theorem gives t2+q2=p24. t^2+q^2=\frac{p^2}{4}. Also, AT=p2+t,TB=p2−t. AT=\frac p2+t,\qquad TB=\frac p2-t. Their sum is p,p, and their product is p24−t2=q2. \frac{p^2}{4}-t^2=q^2. Therefore they are the roots of x2−px+q2=0.x^2-px+q^2=0.
Thus, the correct answer is B.

48.

Una hora después de salir, un tren sufre un accidente que lo demora media hora; después continúa a 34\dfrac34 de su velocidad anterior y llega con 3123\dfrac12 horas de retraso. Si el accidente hubiera ocurrido 9090 millas más adelante, habría llegado con solo 33 horas de retraso. La longitud del viaje, en millas, era:
A train, an hour after starting, meets with an accident which detains it a half hour, after which it proceeds at 34\dfrac34 of its former rate and arrives 3123\dfrac12 hours late. Had the accident happened 9090 miles farther along the line, it would have arrived only 33 hours late. The length of the trip in miles was:
400400
465465
600600
640640
550550
Respuesta: C
Conceptos:distancia, velocidad y tiempovelocidad relativasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 2310
Pista pequeña:
Sean vv la velocidad normal y LL la longitud del viaje; reducir la velocidad a 3v4\frac{3v}{4} añade un tercio del tiempo normal en la distancia afectada
Let the normal speed be vv and the trip length be LL; slowing to 3v4\frac{3v}{4} adds one-third of the normal time on the affected distance
Pista grande:
Usa las dos ecuaciones del retraso para hallar primero Lv\frac{L}{v} y luego 90v\frac{90}{v}
Use the two late-arrival equations to find first Lv\frac{L}{v}, then 90v\frac{90}{v}
Solución:
Sean vv la velocidad normal y LL la longitud del viaje. Recorrer una distancia a 3v4\frac{3v}{4} en vez de a vv añade un tercio de su tiempo normal de recorrido. En el primer caso, 12+13(Lv−1)=72, \frac12+\frac13\left(\frac Lv-1\right)=\frac72, por lo que Lv=10.\frac{L}{v}=10. Si el accidente ocurre 9090 millas más adelante, 12+13(Lv−1−90v)=3. \frac12+\frac13\left(\frac Lv-1-\frac{90}{v}\right)=3. Al sustituir Lv=10\frac{L}{v}=10, se obtiene 90v=32,\frac{90}{v}=\frac{3}{2}, de donde v=60v=60 y L=10v=600. L=10v=600.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let the normal speed be vv and the trip length be L.L. Traveling a distance at 3v4\frac{3v}{4} rather than vv adds one-third of its normal travel time. In the first case, 12+13(Lv−1)=72, \frac12+\frac13\left(\frac Lv-1\right)=\frac72, so Lv=10.\frac{L}{v}=10. If the accident happens 9090 miles farther along, 12+13(Lv−1−90v)=3. \frac12+\frac13\left(\frac Lv-1-\frac{90}{v}\right)=3. Substituting Lv=10\frac{L}{v}=10 gives 90v=32,\frac{90}{v}=\frac{3}{2}, hence v=60v=60 and L=10v=600. L=10v=600.
Thus, the correct answer is C.

49.

La diferencia de los cuadrados de dos números impares siempre es divisible entre 8.8. Si a>b,a>b, y los números impares son 2a+12a+1 y 2b+12b+1, para demostrar la afirmación dada escribimos la diferencia de los cuadrados en la forma:
The difference of the squares of two odd numbers is always divisible by 8.8. If a>b,a>b, and 2a+12a+1 and 2b+12b+1 are the odd numbers, to prove the given statement we put the difference of the squares in the form:
(2a+1)2−(2b+1)2(2a+1)^2-(2b+1)^2
4a2−4b2+4a−4b4a^2-4b^2+4a-4b
4[a(a+1)−b(b+1)]4[a(a+1)-b(b+1)]
4(a−b)(a+b+1)4(a-b)(a+b+1)
4(a2+a−b2−b)4(a^2+a-b^2-b)
Respuesta: C
Conceptos:divisibilidadparidadfactorización
Nivel de dificultad: 1590
Pista pequeña:
Desarrolla los dos cuadrados y agrupa cada variable con su sucesor
Expand the two squares and group each variable with its successor
Pista grande:
Cada uno de los productos a(a+1)a(a+1) y b(b+1)b(b+1) es par
Each product a(a+1)a(a+1) and b(b+1)b(b+1) is even
Solución:
Al desarrollar y reagrupar, (2a+1)2−(2b+1)2=4[a(a+1)−b(b+1)]. \begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)]. \end{aligned} Tanto a(a+1)a(a+1) como b(b+1)b(b+1) son pares, así que su diferencia es par. Por consiguiente, la expresión mostrada es divisible entre 4⋅2=8.4\cdot2=8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Expanding and regrouping, (2a+1)2−(2b+1)2=4[a(a+1)−b(b+1)]. \begin{aligned} &(2a+1)^2-(2b+1)^2\\ &\qquad=4[a(a+1)-b(b+1)]. \end{aligned} Each of a(a+1)a(a+1) and b(b+1)b(b+1) is even, so their difference is even. The displayed expression is consequently divisible by 4⋅2=8.4\cdot2=8.
Thus, the correct answer is C.

50.

Las horas entre las 77 y las 88 en que las manecillas de un reloj forman un ángulo de 8484 grados, redondeadas al minuto más cercano, son:
The times between 77 and 88 o’clock, correct to the nearest minute, when the hands of a clock will form an angle of 8484 degrees are:
7:237{:}23 y 7:537{:}53
7:237{:}23 and 7:537{:}53
7:207{:}20 y 7:507{:}50
7:207{:}20 and 7:507{:}50
7:227{:}22 y 7:537{:}53
7:227{:}22 and 7:537{:}53
7:237{:}23 y 7:527{:}52
7:237{:}23 and 7:527{:}52
7:217{:}21 y 7:497{:}49
7:217{:}21 and 7:497{:}49
Respuesta: A
Conceptos:relojecuación linealestimación
Nivel de dificultad: 1870
Pista pequeña:
A los tt minutos después de las 7:00,7{:}00, la separación con signo entre las manecillas es 210∘−5.5t∘210^\circ-5.5t^\circ
At tt minutes after 7:00,7{:}00, the signed separation of the hands is 210∘−5.5t∘210^\circ-5.5t^\circ
Pista grande:
Resuelve ∣210−5.5t∣=84\lvert210-5.5t\rvert=84 para obtener ambos valores de tt
Solve ∣210−5.5t∣=84\lvert210-5.5t\rvert=84 for both values of tt
Solución:
A los tt minutos después de las 7:00,7{:}00, la manecilla de la hora está en 210∘+0.5t∘210^\circ+0.5t^\circ y la de los minutos en 6t∘.6t^\circ. Por lo tanto, ∣210−5.5t∣=84. |210-5.5t|=84. Las dos soluciones son t=1265.5≈22.91,t=2945.5≈53.45. \begin{aligned} t&=\frac{126}{5.5}\approx22.91,\\ t&=\frac{294}{5.5}\approx53.45. \end{aligned} Al minuto más cercano, las horas son 7:237{:}23 y 7:53.7{:}53.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
At tt minutes after 7:00,7{:}00, the hour hand is at 210∘+0.5t∘210^\circ+0.5t^\circ and the minute hand is at 6t∘.6t^\circ. Thus ∣210−5.5t∣=84. |210-5.5t|=84. The two solutions are t=1265.5≈22.91,t=2945.5≈53.45. \begin{aligned} t&=\frac{126}{5.5}\approx22.91,\\ t&=\frac{294}{5.5}\approx53.45. \end{aligned} To the nearest minute, the times are 7:237{:}23 and 7:53.7{:}53.
Thus, the correct answer is A.
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