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1959 AMC 12 第 37 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

37.

乘积

\begin{aligned} &\left(1-\dfrac13\right)\left(1-\dfrac14\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1-\dfrac15\right)\cdots\left(1-\dfrac1n\right) \end{aligned}

化简后为：

When simplified the product

\begin{aligned} &\left(1-\dfrac13\right)\left(1-\dfrac14\right)\\ &\quad{}\cdot\left(1-\dfrac15\right)\cdots\left(1-\dfrac1n\right) \end{aligned}

becomes:

\dfrac1n

\dfrac2n

\dfrac{2(n-1)}n

\dfrac{2}{n(n+1)}

\dfrac{3}{n(n+1)}

答案：B

知识点：裂项相消分数

难度评级：1140

小提示：

将每个因式

1-\frac{1}{k}

改写为

\frac{k-1}{k}

Rewrite each factor

1-\frac{1}{k}

as

\frac{k-1}{k}

大提示：

写出前几个因式，并约去相邻的分子和分母

Write out the first few factors and cancel adjacent numerators and denominators

解答：

该乘积逐项消去：

\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdots\frac{n-1}{n} =\frac2n\text{。}

因此，正确答案是 B。

The product telescopes:

\frac23\cdot\frac34\cdot\frac45\cdots\frac{n-1}{n} =\frac2n.

Therefore, the correct answer is B.

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