1959 AMC 12 Problema 40

Question

En el triángulo

ABC,

\overline{BD}

es una mediana.

\overline{CF}

corta a

\overline{BD}

en

E

de modo que

BE=ED.

El punto

F

está sobre

\overline{AB}.

Entonces, si

BF=5,

BA

es igual a:

In triangle

ABC,

\overline{BD}

is a median.

\overline{CF}

intersects

\overline{BD}

at

E

so that

BE=ED.

Point

F

is on

\overline{AB}.

Then, if

BF=5,

BA

equals:

10

12

15

20

ninguna de estas

none of these

Respuesta: C

Conceptos:mediana (geometría)vector puntos de masa

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Usa coordenadas o masas, observando que

D

es el punto medio de

AC

y

E

es el punto medio de

BD

Use coordinates or masses, noting that

D

is the midpoint of

AC

and

E

is the midpoint of

BD

Pista grande:

Escribe

E

tanto como

\frac{B+D}{2}

como en su forma de punto sobre la recta

CF

Write

E

both as

\frac{B+D}{2}

and as a point on line

CF

Solución:

Usa vectores con

A=\mathbf0,\ B=\mathbf b,

y

C=\mathbf c.

Como

D=\frac{\mathbf c}{2}

y

E

es el punto medio de

BD,

E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c.

Un punto

F

sobre

AB

tiene la forma

F=t\mathbf b.

Como

E

está sobre

CF,

al comparar el coeficiente de

\mathbf c

se obtiene

E=\tfrac14C+\tfrac34F.

Por consiguiente,

\frac34t=\frac12,

así que

t=\frac{2}{3}.

Entonces

\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3},

y

\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}.

Como

BF=5,

BA=15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Use vectors with

A=\mathbf0,\ B=\mathbf b,

and

C=\mathbf c.

Since

D=\frac{\mathbf c}{2}

and

E

is the midpoint of

BD,

E=\frac12\mathbf b+\frac14\mathbf c.

A point

F

on

AB

has the form

F=t\mathbf b.

Since

E

lies on

CF,

comparison of the

\mathbf c

-coefficient shows that

E=\tfrac14C+\tfrac34F.

Hence

\frac34t=\frac12,

so

t=\frac{2}{3}.

Thus

\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3},

and

\frac{BF}{BA}=\frac{1}{3}.

Since

BF=5,

BA=15.

Therefore, the correct answer is C.

1959 AMC 12 Problema 40

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 40 en otros años