1961 AMC 12 Problema 40

Question

Halla el valor mínimo de

\sqrt{x^2+y^2}

si

5x+12y=60.

Find the minimum value of

\sqrt{x^2+y^2}

if

5x+12y=60.

\dfrac{60}{13}

\dfrac{13}{5}

\dfrac{13}{12}

1

0

Interpreta

\sqrt{x^2+y^2}

como la distancia al origen

Interpret

\sqrt{x^2+y^2}

as distance from the origin

Aplica Cauchy-Schwarz a

5x+12y

Apply Cauchy-Schwarz to

5x+12y

Por Cauchy-Schwarz,

\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}

Así, la distancia es al menos

\frac{60}{13}.

Hay igualdad cuando

(x,y)

es proporcional a

(5,12),

por lo que el mínimo es

\frac{60}{13}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

By Cauchy-Schwarz,

\begin{aligned} 60&=5x+12y\\ &\le\sqrt{5^2+12^2}\\ &\qquad\cdot\sqrt{x^2+y^2}\\ &=13\sqrt{x^2+y^2}. \end{aligned}

Thus the distance is at least

\frac{60}{13}.

Equality occurs when

(x,y)

is proportional to

(5,12),

so the minimum is

\frac{60}{13}.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 40 en otros años