1962 AMC 12 Problema 38

Question

La población de Nosuch Junction fue en cierto momento un cuadrado perfecto. Más tarde, tras aumentar en

100,

la población era uno más que un cuadrado perfecto. Ahora, después de otro aumento de

100,

la población vuelve a ser un cuadrado perfecto.

La población original es múltiplo de:

The population of Nosuch Junction at one time was a perfect square. Later, with an increase of

100,

the population was one more than a perfect square. Now, with an additional increase of

100,

the population is again a perfect square.

The original population is a multiple of:

3

7

9

11

17

Respuesta: B

Conceptos:diferencia de cuadrados cuadrado perfecto factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Escribe las poblaciones como

a^2,

b^2+1,

y

c^2

Write the populations as

a^2,

b^2+1,

and

c^2

Pista grande:

A partir de

b^2-a^2=99,

prueba los pares de factores positivos de

99

y luego impón

c^2-a^2=200

From

b^2-a^2=99,

test the positive factor pairs of

99

, then impose

c^2-a^2=200

Solución:

Sea

a^2

la población original. Entonces

\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}

De

(b-a)(b+a)=99,

las posibilidades positivas para

a

son

49,

15,

y

1.

Al comprobar la segunda condición, solo funciona

a=49,

pues

49^2+200=2601=51^2.

La población es

49^2=7^4,

múltiplo de

7.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the original population be

a^2.

Then

\begin{aligned} b^2-a^2&=99,\\ c^2-a^2&=200. \end{aligned}

From

(b-a)(b+a)=99,

the positive possibilities for

a

are

49,

15,

and

1.

Checking the second condition, only

a=49

works, since

49^2+200=2601=51^2.

The population is

49^2=7^4,

a multiple of

7.

Thus, the correct answer is B.