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Soluciones del 1963 AMC 12

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Cuál de los siguientes puntos no está en la gráfica de y=xx+1y=\dfrac{x}{x+1}?
Which one of the following points is not on the graph of y=xx+1?y=\dfrac{x}{x+1}?
(0,0)(0,0)
(−12,−1)\left(-\dfrac12,-1\right)
(12,13)\left(\dfrac12,\dfrac13\right)
(−1,1)(-1,1)
(−2,2)(-2,2)
Conceptos:funciónsustitución
Nivel de dificultad: 1320
Pista pequeña:
Comprueba el dominio antes de sustituir las coordenadas
Check the domain before substituting coordinates
Pista grande:
El denominador se anula en una de las coordenadas xx indicadas
The denominator vanishes at one of the listed xx-coordinates
Solución:
La expresión xx+1\frac{x}{x+1} no está definida cuando x=−1.x=-1. Por lo tanto, ningún punto cuya primera coordenada sea −1-1 puede estar en su gráfica.
Así, la respuesta correcta es D.
The expression xx+1\frac{x}{x+1} is undefined when x=−1.x=-1. Therefore no point whose first coordinate is −1-1 can lie on its graph.
Thus, the correct answer is D.

2.

Sea n=x−yx−y.n=x-y^{x-y}. Halla nn cuando x=2x=2 y y=−2.y=-2.
Let n=x−yx−y.n=x-y^{x-y}. Find nn when x=2x=2 and y=−2.y=-2.
−14-14
00
11
1818
256256
Conceptos:sustituciónexponenteorden de las operaciones
Nivel de dificultad: 1180
Pista pequeña:
Calcula primero el exponente x−yx-y
First compute the exponent x−yx-y
Pista grande:
Evalúa la potencia antes de restarla de xx
Evaluate the power before subtracting it from xx
Solución:
Aquí x−y=2−(−2)=4,x-y=2-(-2)=4, por lo que n=2−(−2)4=2−16=−14.n=2-(-2)^4=2-16=-14.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Here x−y=2−(−2)=4,x-y=2-(-2)=4, so n=2−(−2)4=2−16=−14.n=2-(-2)^4=2-16=-14.
Therefore, the correct answer is A.

3.

Si el recíproco de x+1x+1 es x−1,x-1, entonces xx es igual a:
If the reciprocal of x+1x+1 is x−1,x-1, then xx equals:
00
11
−1-1
±1\pm1
ninguna de estas opciones
none of these
Conceptos:ecuación racionalcuadrática
Nivel de dificultad: 1320
Pista pequeña:
Traduce «el recíproco de x+1x+1» a una ecuación
Translate “the reciprocal of x+1x+1” into an equation
Pista grande:
Multiplicar por x+1x+1 produce una diferencia de cuadrados
Multiplying by x+1x+1 leads to a difference of squares
Solución:
La ecuación es 1x+1=x−1.\frac1{x+1}=x-1. Por tanto, 1=x2−1,1=x^2-1, de modo que x=±2.x=\pm\sqrt2. Ninguno de estos valores aparece en la lista.
Así, la respuesta correcta es E.
The equation is 1x+1=x−1.\frac1{x+1}=x-1. Hence 1=x2−1,1=x^2-1, so x=±2.x=\pm\sqrt2. Neither value is listed.
Thus, the correct answer is E.

4.

¿Para qué valor o valores de kk tienen las ecuaciones y=x2y=x^2 y y=3x+ky=3x+k dos soluciones idénticas?
For what value(s) of kk does the pair of equations y=x2y=x^2 and y=3x+ky=3x+k have two identical solutions?
49\dfrac49
−49-\dfrac49
94\dfrac94
−94-\dfrac94
±94\pm\dfrac94
Conceptos:parábolarecta tangentecuadrática
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:
Iguala las dos expresiones de yy
Set the two expressions for yy equal
Pista grande:
Una intersección doble hace que el discriminante de la cuadrática resultante sea cero
A repeated intersection makes the resulting quadratic’s discriminant zero
Solución:
Las intersecciones satisfacen x2−3x−k=0.x^2-3x-k=0. Para que haya dos soluciones idénticas se requiere (−3)2−4(1)(−k)=9+4k=0,(-3)^2-4(1)(-k)=9+4k=0, lo que da k=−94.k=-\frac{9}{4}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Intersections satisfy x2−3x−k=0.x^2-3x-k=0. Two identical solutions require (−3)2−4(1)(−k)=9+4k=0,(-3)^2-4(1)(-k)=9+4k=0, giving k=−94.k=-\frac{9}{4}.
Therefore, the correct answer is D.

5.

Si xx y log⁡10x\log_{10}x son números reales y log⁡10x<0,\log_{10}x\lt0, entonces:
If xx and log⁡10x\log_{10}x are real numbers and log⁡10x<0,\log_{10}x\lt0, then:
x<0x\lt0
−1<x<1-1\lt x\lt1
0<x≤10\lt x\leq1
−1<x<0-1\lt x\lt0
0<x<10\lt x\lt1
Conceptos:logaritmodesigualdad
Nivel de dificultad: 940
Pista pequeña:
Un logaritmo real requiere un argumento positivo
A real logarithm requires a positive argument
Pista grande:
Compara xx con 10010^0
Compare xx with 10010^0
Solución:
El logaritmo es real solo si x>0.x\gt0. Como la base 1010 es mayor que 1,1, la desigualdad log⁡10x<0=log⁡101\log_{10}x\lt0=\log_{10}1 implica x<1.x\lt1.
Así, la respuesta correcta es E.
The logarithm is real only for x>0.x\gt0. Since base 1010 is greater than 1,1, log⁡10x<0=log⁡101\log_{10}x\lt0=\log_{10}1 implies x<1.x\lt1.
Thus, the correct answer is E.

6.

El triángulo BADBAD es rectángulo en B.B. En ADAD hay un punto CC tal que AC=CDAC=CD y AB=BC.AB=BC. La medida del ángulo DAB,DAB, en grados, es:
Triangle BADBAD is right-angled at B.B. On ADAD there is a point CC for which AC=CDAC=CD and AB=BC.AB=BC. The magnitude of angle DAB,DAB, in degrees, is:
671267\dfrac12
6060
4545
3030
221222\dfrac12
Conceptos:triángulo rectángulopunto mediotriángulo equilátero
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices
A midpoint of a right triangle’s hypotenuse is equidistant from all three vertices
Pista grande:
Usa AB=BC=ACAB=BC=AC
Use AB=BC=ACAB=BC=AC
Solución:
Como CC es el punto medio de la hipotenusa AD,AD, se tiene AC=BC=CD.AC=BC=CD. Dado que AB=BC,AB=BC, el triángulo ABCABC es equilátero. Por tanto, ∠DAB=∠CAB=60∘.\angle DAB=\angle CAB=60^\circ.
Así, la respuesta correcta es B.
Since CC is the midpoint of hypotenuse AD,AD, AC=BC=CD.AC=BC=CD. Given AB=BC,AB=BC, triangle ABCABC is equilateral. Thus ∠DAB=∠CAB=60∘.\angle DAB=\angle CAB=60^\circ.
Therefore, the correct answer is B.

7.

Dadas las cuatro ecuaciones:
(1)3y−2x=12,(2)−2x−3y=10,(3)3y+2x=12,(4)2y+3x=10. \begin{aligned} (1)\quad&3y-2x=12,\\ (2)\quad&-2x-3y=10,\\ (3)\quad&3y+2x=12,\\ (4)\quad&2y+3x=10. \end{aligned}
El par que representa rectas perpendiculares es:
Given the four equations:
(1)3y−2x=12,(2)−2x−3y=10,(3)3y+2x=12,(4)2y+3x=10. \begin{aligned} (1)\quad&3y-2x=12,\\ (2)\quad&-2x-3y=10,\\ (3)\quad&3y+2x=12,\\ (4)\quad&2y+3x=10. \end{aligned}
The pair representing perpendicular lines is:
(1)(1) y (4)(4)
(1)(1) and (4)(4)
(1)(1) y (3)(3)
(1)(1) and (3)(3)
(1)(1) y (2)(2)
(1)(1) and (2)(2)
(2)(2) y (4)(4)
(2)(2) and (4)(4)
(2)(2) y (3)(3)
(2)(2) and (3)(3)
Conceptos:ecuación linealpendiente
Nivel de dificultad: 1080
Pista pequeña:
Reescribe cada ecuación en forma pendiente-intersección
Rewrite each equation in slope-intercept form
Pista grande:
Las pendientes de dos rectas no verticales perpendiculares tienen producto −1-1
Perpendicular nonvertical lines have slopes whose product is −1-1
Solución:
La recta (1)(1) tiene pendiente 23,\frac{2}{3}, y la recta (4)(4) tiene pendiente −32.-\frac{3}{2}. Su producto es −1,-1, así que estas dos rectas son perpendiculares.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Line (1)(1) has slope 23,\frac{2}{3}, and line (4)(4) has slope −32.-\frac{3}{2}. Their product is −1,-1, so these two lines are perpendicular.
Thus, the correct answer is A.

8.

El menor entero positivo xx para el cual 1260x=N3,1260x=N^3, donde NN es un entero, es:
The smallest positive integer xx for which 1260x=N3,1260x=N^3, where NN is an integer, is:
10501050
12601260
126021260^2
73507350
44,10044{,}100
Conceptos:factorización en primospotencia perfecta
Nivel de dificultad: 1680
Pista pequeña:
Factoriza 12601260 en primos
Factor 12601260 into primes
Pista grande:
Eleva cada exponente primo hasta el siguiente múltiplo de 33
Raise every prime exponent to the next multiple of 33
Solución:
Como 1260=22⋅32⋅5⋅7,1260=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7, el menor multiplicador que hace que todos los exponentes sean divisibles por 33 es 2⋅3⋅52⋅72=7350.2\cdot3\cdot5^2\cdot7^2=7350.
Así, la respuesta correcta es D.
Since 1260=22⋅32⋅5⋅7,1260=2^2\cdot3^2\cdot5\cdot7, the least multiplier making every exponent divisible by 33 is 2⋅3⋅52⋅72=7350.2\cdot3\cdot5^2\cdot7^2=7350.
Thus, the correct answer is D.

9.

En el desarrollo de (a−1a)7\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7, el coeficiente de a−12a^{-\frac{1}{2}} es:
In the expansion of (a−1a)7\left(a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^7 the coefficient of a−12a^{-\frac{1}{2}} is:
−7-7
77
−21-21
2121
3535
Conceptos:teorema del binomioexponente
Nivel de dificultad: 1850
Pista pequeña:
El término que elige el segundo sumando rr veces tiene exponente 7−3r27-\frac{3r}{2}
The term choosing the second summand rr times has exponent 7−3r27-\frac{3r}{2}
Pista grande:
Iguala ese exponente a −12-\frac{1}{2} antes de hallar el coeficiente binomial y el signo
Set that exponent equal to −12-\frac{1}{2} before finding the binomial coefficient and sign
Solución:
El término que usa −a−12-a^{-\frac{1}{2}} exactamente rr veces tiene exponente 7−r−r2=7−3r2.7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}. Al igualarlo a −12-\frac{1}{2} se obtiene r=5.r=5. Su coeficiente es (75)(−1)5=−21.\binom75(-1)^5=-21.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The term using −a−12-a^{-\frac{1}{2}} exactly rr times has exponent 7−r−r2=7−3r2.7-r-\frac{r}{2}=7-\frac{3r}{2}. Setting this to −12-\frac{1}{2} gives r=5.r=5. Its coefficient is (75)(−1)5=−21.\binom75(-1)^5=-21.
Therefore, the correct answer is C.

10.

Se toma un punto PP en el interior de un cuadrado de lado aa, de manera que equidista de dos vértices consecutivos y del lado opuesto a esos vértices. Si dd representa la distancia común, entonces dd es igual a:
Point PP is taken interior to a square with side-length aa and such that it is equally distant from two consecutive vertices and from the side opposite these vertices. If dd represents the common distance, then dd equals:
3a5\dfrac{3a}{5}
5a8\dfrac{5a}{8}
3a8\dfrac{3a}{8}
a22\dfrac{a\sqrt2}{2}
a2\dfrac a2
Conceptos:cuadrado (geometría)mediatrizfórmula de la distancia
Nivel de dificultad: 1730
Pista pequeña:
Las distancias iguales a dos vértices consecutivos sitúan a PP en la mediatriz del segmento que los une
The equal distances to two consecutive vertices put PP on their perpendicular bisector
Pista grande:
Si la distancia al lado opuesto es d,d, usa un triángulo rectángulo con catetos a2\frac{a}{2} y a−da-d
If the distance to the opposite side is d,d, use a right triangle with legs a2\frac{a}{2} and a−da-d
Solución:
Coloca el lado opuesto a altura 00 y los dos vértices a altura a.a. Entonces P=(a2,d).P=(\frac{a}{2},d). Igualar la distancia al vértice con dd da (a2)2+(a−d)2=d2,\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2, de modo que 5a24=2ad\frac{5a^2}{4}=2ad y d=5a8.d=\frac{5a}{8}.
Así, la respuesta correcta es B.
Place the opposite side at height 00 and the two vertices at height a.a. Then P=(a2,d).P=(\frac{a}{2},d). Equality of the vertex distance and dd gives (a2)2+(a−d)2=d2,\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2, so 5a24=2ad\frac{5a^2}{4}=2ad and d=5a8.d=\frac{5a}{8}.
Thus, the correct answer is B.

11.

La media aritmética de un conjunto de 5050 números es 38.38. Si se eliminan dos números del conjunto, concretamente 4545 y 55,55, la media aritmética de los números restantes es:
The arithmetic mean of a set of 5050 numbers is 38.38. If two numbers of the set, namely 4545 and 55,55, are discarded, the arithmetic mean of the remaining set of numbers is:
38.538.5
37.537.5
3737
36.536.5
3636
Conceptos:mediaoperaciones con números enteros
Nivel de dificultad: 1030
Pista pequeña:
Recupera la suma original a partir de la media
Recover the original sum from the mean
Pista grande:
Resta 45+5545+55 y divide entre 4848
Subtract 45+5545+55 and divide by 4848
Solución:
La suma original es 50⋅38=1900.50\cdot38=1900. Después de eliminar 45+55=100,45+55=100, la suma restante es 1800,1800, así que la nueva media es 180048=37.5.\frac{1800}{48}=37.5.
Así, la respuesta correcta es B.
The original sum is 50⋅38=1900.50\cdot38=1900. After removing 45+55=100,45+55=100, the remaining sum is 1800,1800, so the new mean is 180048=37.5.\frac{1800}{48}=37.5.
Thus, the correct answer is B.

12.

Tres vértices del paralelogramo PQRSPQRS son P(−3,−2),P(-3,-2), Q(1,−5),Q(1,-5), R(9,1)R(9,1), con PP y RR como vértices opuestos. La suma de las coordenadas del vértice SS es:
Three vertices of parallelogram PQRSPQRS are P(−3,−2),P(-3,-2), Q(1,−5),Q(1,-5), R(9,1)R(9,1) with PP and RR diagonally opposite. The sum of the coordinates of vertex SS is:
1313
1212
1111
1010
99
Conceptos:paralelogramogeometría analíticapunto medio
Nivel de dificultad: 1290
Pista pequeña:
Las diagonales de un paralelogramo se bisecan
The diagonals of a parallelogram bisect each other
Pista grande:
Usa la relación vectorial P+R=Q+SP+R=Q+S
Use the vector relation P+R=Q+SP+R=Q+S
Solución:
Como P+R=Q+S,P+R=Q+S, S=P+R−Q=(−3,−2)+(9,1)−(1,−5)=(5,4). \begin{aligned} S&=P+R-Q\\ &=(-3,-2)+(9,1)-(1,-5)\\ &=(5,4). \end{aligned} La suma de las coordenadas es 5+4=9.5+4=9.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Since P+R=Q+S,P+R=Q+S, S=P+R−Q=(−3,−2)+(9,1)−(1,−5)=(5,4). \begin{aligned} S&=P+R-Q\\ &=(-3,-2)+(9,1)-(1,-5)\\ &=(5,4). \end{aligned} The coordinate sum is 5+4=9.5+4=9.
Therefore, the correct answer is E.

13.

Si 2a+2b=3c+3d,2^a+2^b=3^c+3^d, ¿cuántos de los enteros a,a, b,b, c,c, dd pueden ser negativos como máximo?
If 2a+2b=3c+3d,2^a+2^b=3^c+3^d, the number of integers a,a, b,b, c,c, dd which can possibly be negative is, at most:
44
33
22
11
00
Conceptos:exponentedivisibilidadparidad
Nivel de dificultad: 2160
Pista pequeña:
Un denominador reducido del lado izquierdo solo puede contener 2,2, mientras que uno del lado derecho solo puede contener 33
A reduced denominator on the left can contain only 2,2, while one on the right can contain only 33
Pista grande:
Concluye que ambos lados deben ser enteros y luego analiza cuándo una suma de dos potencias negativas puede ser entera
Conclude both sides must be integers, then examine when a sum of two negative powers can be integral
Solución:
En forma reducida, el lado izquierdo solo puede tener una potencia de 22 en el denominador, mientras que el lado derecho solo puede tener una potencia de 3.3. La igualdad obliga entonces a que ambos lados sean enteros. Si cc o dd fuera negativo, 3c+3d3^c+3^d conservaría un factor 33 en el denominador. Por tanto, c,d≥0.c,d\geq0.
De igual manera, un valor negativo de aa o bb solo puede dar un entero en el caso excepcional a=b=−1,a=b=-1, cuya suma es 1.1. Pero 3c+3d≥2.3^c+3^d\geq2. Por ello, también a,b≥0a,b\geq0, así que ninguno puede ser negativo.
Así, la respuesta correcta es E.
In lowest terms, the left side can have only a power of 22 in its denominator, while the right side can have only a power of 3.3. Equality therefore forces both sides to be integers. If either cc or dd were negative, 3c+3d3^c+3^d would retain a factor 33 in its denominator. Thus c,d≥0.c,d\geq0.
Likewise, negative aa or bb can give an integer only in the exceptional case a=b=−1,a=b=-1, whose sum is 1.1. But 3c+3d≥2.3^c+3^d\geq2. Hence a,b≥0a,b\geq0 as well, so none can be negative.
Thus, the correct answer is E.

14.

Dadas las ecuaciones x2+kx+6=0x^2+kx+6=0 y x2−kx+6=0.x^2-kx+6=0. Si, al ordenar adecuadamente las raíces, cada raíz de la segunda ecuación es 55 mayor que la raíz correspondiente de la primera, entonces kk es igual a:
Given the equations x2+kx+6=0x^2+kx+6=0 and x2−kx+6=0.x^2-kx+6=0. If, when the roots of the equations are suitably listed, each root of the second equation is 55 more than the corresponding root of the first equation, then kk equals:
55
−5-5
77
−7-7
ninguna de estas opciones
none of these
Conceptos:cuadráticaFórmulas de Vieta
Nivel de dificultad: 1500
Pista pequeña:
Compara las sumas de los dos pares de raíces
Compare the sums of the two pairs of roots
Pista grande:
Sumar 55 a cada raíz aumenta su suma en 1010
Adding 55 to each root increases their sum by 1010
Solución:
El primer par de raíces tiene suma −k,-k, mientras que el segundo tiene suma k.k. Como ambas raíces aumentan en 5,5, se tiene k=−k+10,k=-k+10, de modo que k=5.k=5.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The first pair of roots has sum −k,-k, while the second has sum k.k. Since both roots increase by 5,5, k=−k+10,k=-k+10, so k=5.k=5.
Therefore, the correct answer is A.

15.

Un círculo está inscrito en un triángulo equilátero y un cuadrado está inscrito en el círculo. La razón entre el área del triángulo y la del cuadrado es:
A circle is inscribed in an equilateral triangle, and a square is inscribed in the circle. The ratio of the area of the triangle to the area of the square is:
3:1\sqrt3:1
3:2\sqrt3:\sqrt2
33:23\sqrt3:2
3:23:\sqrt2
3:223:2\sqrt2
Conceptos:triángulo equiláterocircunferencia inscrita, incentro e inradiocuadrado (geometría)razón de áreas
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:
Expresa ambas áreas mediante el radio rr del círculo
Express both areas using the circle’s radius rr
Pista grande:
El lado del triángulo es 23r2\sqrt3r y la diagonal del cuadrado es 2r2r
The triangle’s side is 23r2\sqrt3r and the square’s diagonal is 2r2r
Solución:
Si el círculo tiene radio r,r, el triángulo equilátero tiene lado 23r2\sqrt3r y área 33r2.3\sqrt3r^2. El cuadrado tiene lado r2r\sqrt2 y área 2r2.2r^2. La razón es 33:2.3\sqrt3:2.
Así, la respuesta correcta es C.
If the circle has radius r,r, the equilateral triangle has side 23r2\sqrt3r and area 33r2.3\sqrt3r^2. The square has side r2r\sqrt2 and area 2r2.2r^2. The ratio is 33:2.3\sqrt3:2.
Thus, the correct answer is C.

16.

Tres números no nulos a,a, b,b, cc forman una progresión aritmética. Aumentar aa en 11 o aumentar cc en 22 produce una progresión geométrica. Entonces bb es igual a:
Three numbers a,a, b,b, c,c, none zero, form an arithmetic progression. Increasing aa by 11 or increasing cc by 22 results in a geometric progression. Then bb equals:
1616
1414
1212
1010
88
Conceptos:sucesión aritméticasucesión geométricasistema de ecuaciones
Nivel de dificultad: 1920
Pista pequeña:
Traduce las tres condiciones de progresión en ecuaciones que contengan b2b^2 y a+ca+c
Translate the three progression conditions into equations involving b2b^2 and a+ca+c
Pista grande:
Compara primero (a+1)c=b2=a(c+2)(a+1)c=b^2=a(c+2)
Compare (a+1)c=b2=a(c+2)(a+1)c=b^2=a(c+2) first
Solución:
Las condiciones dan 2b=a+c,b2=(a+1)c,b2=a(c+2). \begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered} Comparando las dos últimas se obtiene c=2a.c=2a. Así, b=3a2,b=\frac{3a}{2}, y 9a24=2a(a+1).\frac{9a^2}{4}=2a(a+1). Como a≠0,a\ne0, resulta a=8,a=8, y por tanto b=12.b=12.
Así, la respuesta correcta es C.
The conditions give 2b=a+c,b2=(a+1)c,b2=a(c+2). \begin{gathered} 2b=a+c,\\ b^2=(a+1)c,\qquad b^2=a(c+2). \end{gathered} Comparing the last two yields c=2a.c=2a. Thus b=3a2,b=\frac{3a}{2}, and 9a24=2a(a+1).\frac{9a^2}{4}=2a(a+1). Since a≠0,a\ne0, a=8,a=8, so b=12.b=12.
Therefore, the correct answer is C.

17.

La expresión
aa+y+ya−yya+y−aa−y, \frac{\dfrac{a}{a+y}+\dfrac{y}{a-y}} {\dfrac{y}{a+y}-\dfrac{a}{a-y}},
con aa real y a≠0,a\ne0, tiene el valor −1-1 para:
The expression
aa+y+ya−yya+y−aa−y, \frac{\dfrac{a}{a+y}+\dfrac{y}{a-y}} {\dfrac{y}{a+y}-\dfrac{a}{a-y}},
aa real, a≠0,a\ne0, has the value −1-1 for:
todos los valores reales de yy salvo dos
all but two real values of yy
solo dos valores reales de yy
only two real values of yy
todos los valores reales de yy
all real values of yy
solo un valor real de yy
only one real value of yy
ningún valor real de yy
no real values of yy
Conceptos:fracciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:
Combina por separado las dos fracciones del numerador y del denominador
Combine the two fractions in the numerator and denominator separately
Pista grande:
Ten en cuenta los valores excluidos y=±ay=\pm a
Keep track of the excluded values y=±ay=\pm a
Solución:
Para y≠±a,y\ne\pm a, el numerador se simplifica a a2+y2a2−y2\frac{a^2+y^2}{a^2-y^2} y el denominador a su opuesto. Por tanto, el cociente es −1.-1. La expresión no está definida para y=ay=a ni para y=−a.y=-a.
Así, la respuesta correcta es A.
For y≠±a,y\ne\pm a, the numerator simplifies to a2+y2a2−y2\frac{a^2+y^2}{a^2-y^2} and the denominator to its negative. Their quotient is therefore −1.-1. The two values y=ay=a and y=−ay=-a are undefined.
Thus, the correct answer is A.

18.

La cuerda EFEF es la mediatriz de la cuerda BC,BC, a la que corta en M.M. Se toma un punto UU entre BB y MM, y la prolongación de EUEU corta al círculo en A.A. Para cualquier elección de UU descrita así, el triángulo EUMEUM es semejante al triángulo:
Chord EFEF is the perpendicular bisector of chord BC,BC, intersecting it in M.M. Between BB and MM point UU is taken, and EUEU extended meets the circle in A.A. Then, for any selection of U,U, as described, triangle EUMEUM is similar to triangle:
EFAEFA
EFCEFC
ABMABM
ABUABU
FMCFMC
Conceptos:cuerdacírculosemejanza
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Como la mediatriz de una cuerda pasa por el centro, EFEF es un diámetro
Because the perpendicular bisector of a chord passes through the center, EFEF is a diameter
Pista grande:
Compara los ángulos rectos y el ángulo común en EE
Compare the right angles and the shared angle at EE
Solución:
Como EFEF es un diámetro, ∠EAF=90∘.\angle EAF=90^\circ. Además, EF⊥BC,EF\perp BC, así que ∠EMU=90∘.\angle EMU=90^\circ. Como E,U,AE,U,A son colineales, los dos triángulos comparten el mismo ángulo agudo en E.E. Por ello, △EUM∼△EFA.\triangle EUM\sim\triangle EFA.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Since EFEF is a diameter, ∠EAF=90∘.\angle EAF=90^\circ. Also EF⊥BC,EF\perp BC, so ∠EMU=90∘.\angle EMU=90^\circ. Because E,U,AE,U,A are collinear, the two triangles share the same acute angle at E.E. Hence △EUM∼△EFA.\triangle EUM\sim\triangle EFA.
Therefore, the correct answer is A.

19.

Al contar nn bolas de colores, unas rojas y otras negras, se encontró que 4949 de las primeras 5050 eran rojas. A partir de entonces, 77 de cada 88 bolas contadas eran rojas. Si al menos el 90%90\% de todas las bolas contadas eran rojas, el valor máximo de nn es:
In counting nn colored balls, some red and some black, it was found that 4949 of the first 5050 counted were red. Thereafter, 77 out of every 88 counted were red. If, in all, 90%90\% or more of the balls counted were red, the maximum value of nn is:
225225
210210
200200
180180
175175
Conceptos:porcentajedesigualdadtasa
Nivel de dificultad: 1640
Pista pequeña:
Escribe el número de bolas rojas como 49+78(n−50)49+\frac78(n-50)
Write the number of red balls as 49+78(n−50)49+\frac78(n-50)
Pista grande:
Exige que esa cantidad sea al menos 0.9n0.9n
Require that quantity to be at least 0.9n0.9n
Solución:
La condición es 49+78(n−50)≥910n.49+\frac78(n-50)\geq\frac9{10}n. Al simplificar se obtiene 214≥n40,\frac{21}{4}\geq \frac{n}{40}, así que n≤210.n\leq210. El máximo es 210.210.
Así, la respuesta correcta es B.
The condition is 49+78(n−50)≥910n.49+\frac78(n-50)\geq\frac9{10}n. Simplifying gives 214≥n40,\frac{21}{4}\geq \frac{n}{40}, so n≤210.n\leq210. The maximum is 210.210.
Thus, the correct answer is B.

20.

Dos hombres situados en los puntos RR y S,S, separados por 7676 millas, parten al mismo tiempo caminando uno hacia el otro. El hombre en RR camina uniformemente a 4124\dfrac12 millas por hora; el hombre en SS camina a 3143\dfrac14 millas por hora durante la primera hora, a 3343\dfrac34 millas por hora durante la segunda, y así sucesivamente en progresión aritmética. Si se encuentran después de un número entero de horas en un punto que está xx millas más cerca de RR que de SS, entonces xx es:
Two men at points RR and S,S, 7676 miles apart, set out at the same time to walk towards each other. The man at RR walks uniformly at 4124\dfrac12 miles per hour; the man at SS walks at 3143\dfrac14 miles per hour for the first hour, at 3343\dfrac34 miles per hour for the second hour, and so on, in arithmetic progression. If the men meet xx miles nearer RR than SS in an integral number of hours, then xx is:
1010
88
66
44
22
Conceptos:sucesión aritméticasumatoriadistancia, velocidad y tiempo
Nivel de dificultad: 1920
Pista pequeña:
Sea hh el número entero de horas hasta el encuentro y suma las distancias horarias del segundo hombre
Let the integral meeting time be hh hours and sum the second man’s hourly distances
Pista grande:
La ecuación de la distancia combinada se simplifica a h2+30h−304=0h^2+30h-304=0
Their combined distance equation simplifies to h2+30h−304=0h^2+30h-304=0
Solución:
En hh horas, el primer hombre camina 9h2.\frac{9h}{2}. El segundo recorre la suma de la progresión aritmética h2(2⋅134+(h−1)12)=3h+h24. \begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4}. \end{aligned} Sus distancias suman 76,76, lo que da h2+30h−304=0,h^2+30h-304=0, cuya raíz positiva es h=8.h=8. Recorren 3636 y 4040 millas, de modo que el punto de encuentro está 44 millas más cerca de RR que de S.S.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
In hh hours the first man walks 9h2.\frac{9h}{2}. The second walks an arithmetic-series total h2(2⋅134+(h−1)12)=3h+h24. \begin{aligned} &\frac h2\left(2\cdot\frac{13}{4} +(h-1)\frac12\right)\\ &\qquad=3h+\frac{h^2}{4}. \end{aligned} Their distances sum to 76,76, giving h2+30h−304=0,h^2+30h-304=0, whose positive root is h=8.h=8. They walk 3636 and 4040 miles, so the meeting point is 44 miles nearer RR than S.S.
Thus, the correct answer is D.

21.

La expresión x2−y2−z2+2yz+x+y−zx^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z tiene:
The expression x2−y2−z2+2yz+x+y−zx^2-y^2-z^2+2yz+x+y-z has:
ningún factor lineal con coeficientes enteros y exponentes enteros
no linear factor with integer coefficients and integer exponents
el factor −x+y+z-x+y+z
the factor −x+y+z-x+y+z
el factor x−y−z+1x-y-z+1
the factor x−y−z+1x-y-z+1
el factor x+y−z+1x+y-z+1
the factor x+y−z+1x+y-z+1
el factor x−y+z+1x-y+z+1
the factor x−y+z+1x-y+z+1
Conceptos:diferencia de cuadradosfactorizaciónsustitución
Nivel de dificultad: 1520
Pista pequeña:
Agrupa y−zy-z como una sola expresión
Group y−zy-z as a single expression
Pista grande:
Reescribe el polinomio como x2−(y−z)2+x+(y−z)x^2-(y-z)^2+x+(y-z)
Rewrite the polynomial as x2−(y−z)2+x+(y−z)x^2-(y-z)^2+x+(y-z)
Solución:
Sea u=y−z.u=y-z. Los dos grupos se factorizan como x2−u2=(x+u)(x−u),x+u=(x+u)⋅1. \begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered} Por tanto, toda la expresión es (x+u)(x−u+1),(x+u)(x-u+1), y uno de sus factores es x−y+z+1.x-y+z+1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let u=y−z.u=y-z. The two groups factor as x2−u2=(x+u)(x−u),x+u=(x+u)⋅1. \begin{gathered} x^2-u^2=(x+u)(x-u),\\ x+u=(x+u)\cdot1. \end{gathered} Thus the whole expression is (x+u)(x−u+1),(x+u)(x-u+1), and one factor is x−y+z+1.x-y+z+1.
Therefore, the correct answer is E.

22.

El triángulo acutángulo ABCABC está inscrito en un círculo con centro O;O; AB⌢=120∘\overset{\frown}{AB}=120^\circ y BC⌢=72∘.\overset{\frown}{BC}=72^\circ. Se toma un punto EE en el arco menor ACAC tal que OEOE es perpendicular a AC.AC. Entonces la razón entre las medidas de los ángulos OBEOBE y BACBAC es:
Acute-angled triangle ABCABC is inscribed in a circle with center at O;O; AB⌢=120∘\overset{\frown}{AB}=120^\circ and BC⌢=72∘.\overset{\frown}{BC}=72^\circ. A point EE is taken in minor arc ACAC such that OEOE is perpendicular to AC.AC. Then the ratio of the magnitudes of angles OBEOBE and BACBAC is:
518\dfrac5{18}
29\dfrac29
14\dfrac14
13\dfrac13
49\dfrac49
Conceptos:arcoángulo inscritotriángulo isósceles
Nivel de dificultad: 2030
Pista pequeña:
Halla el arco menor AC,AC, y luego usa OE⊥ACOE\perp AC para situar EE en su punto medio
Find minor arc AC,AC, then use OE⊥ACOE\perp AC to locate EE at its midpoint
Pista grande:
Calcula el ángulo central BOEBOE y el ángulo inscrito BACBAC
Compute the central angle BOEBOE and the inscribed angle BACBAC
Solución:
El arco menor ACAC mide 360∘−120∘−72∘=168∘.360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ. Como OE⊥AC,OE\perp AC, el punto EE biseca ese arco, por lo que ∠BOE=72∘+84∘=156∘.\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ. El triángulo isósceles OBEOBE da ∠OBE=12∘,\angle OBE=12^\circ, mientras que ∠BAC=72∘2=36∘.\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ. Su razón es 13.\frac{1}{3}.
Así, la respuesta correcta es D.
Minor arc ACAC has measure 360∘−120∘−72∘=168∘.360^\circ-120^\circ-72^\circ=168^\circ. Since OE⊥AC,OE\perp AC, EE bisects that arc, so ∠BOE=72∘+84∘=156∘.\angle BOE=72^\circ+84^\circ=156^\circ. Isosceles triangle OBEOBE gives ∠OBE=12∘,\angle OBE=12^\circ, while ∠BAC=72∘2=36∘.\angle BAC=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ. Their ratio is 13.\frac{1}{3}.
Thus, the correct answer is D.

23.

AA le da a BB tantos centavos como tiene BB y a CC tantos centavos como tiene CC. Después, BB da de igual manera a AA y a CC tantos centavos como tiene cada uno en ese momento. Luego CC, de la misma forma, da a AA y a BB tantos centavos como tiene cada uno. Si al final cada uno tiene 1616 centavos, ¿con cuántos centavos comienza AA?
AA gives BB as many cents as BB has and CC as many cents as CC has. Similarly, BB then gives AA and CC as many cents as each then has. CC, similarly, then gives AA and BB as many cents as each then has. If each finally has 1616 cents, with how many cents does AA start?
2424
2626
2828
3030
3232
Conceptos:dinerotrabajar hacia atrás
Nivel de dificultad: 1780
Pista pequeña:
Trabaja hacia atrás desde las cantidades finales
Work backward from the final holdings
Pista grande:
Justo antes de que alguien entregue dinero, cada receptor debe tener la mitad de lo que tiene inmediatamente después
Immediately before someone gives, each recipient must have half of the amount held just after that gift
Solución:
Invierte las transacciones. Antes de que CC entregue dinero, las cantidades son (8,8,32).(8,8,32). Antes de que BB entregue dinero, son (4,28,16).(4,28,16). Antes de que AA entregue dinero, BB y CC deben tener 1414 y 88 centavos, mientras que AA tiene 4+14+8=26.4+14+8=26.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Reverse the transactions. Before CC gives, the holdings are (8,8,32).(8,8,32). Before BB gives, they are (4,28,16).(4,28,16). Before AA gives, BB and CC must have had 1414 and 8,8, while AA had 4+14+8=26.4+14+8=26.
Therefore, the correct answer is B.

24.

Considera ecuaciones de la forma x2+bx+c=0.x^2+bx+c=0. ¿Cuántas de estas ecuaciones tienen raíces reales y coeficientes bb y cc elegidos del conjunto de enteros {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}?
Consider equations of the form x2+bx+c=0.x^2+bx+c=0. How many such equations have real roots and have coefficients bb and cc selected from the set of integers {1,2,3,4,5,6}?\{1,2,3,4,5,6\}?
2020
1919
1818
1717
1616
Conceptos:cuadráticaconteo básicodesigualdad
Nivel de dificultad: 1570
Pista pequeña:
Las raíces reales requieren b2≥4cb^2\geq4c
Real roots require b2≥4cb^2\geq4c
Pista grande:
Para cada c=1,…,6,c=1,\ldots,6, cuenta los valores permitidos de bb
For each c=1,…,6,c=1,\ldots,6, count the allowed values of bb
Solución:
Para cc igual a 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, y 6,6, la condición b2≥4cb^2\geq4c permite respectivamente 5,5, 4,4, 3,3, 3,3, 2,2, y 22 valores de bb en el conjunto dado. Su suma es 5+4+3+3+2+2=19.5+4+3+3+2+2=19.
Así, la respuesta correcta es B.
For cc equal to 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5, and 6,6, the condition b2≥4cb^2\geq4c permits respectively 5,5, 4,4, 3,3, 3,3, 2,2, and 22 values of bb in the given set. Their sum is 5+4+3+3+2+2=19.5+4+3+3+2+2=19.
Thus, the correct answer is B.

25.

Se toma el punto FF en el lado ADAD del cuadrado ABCD.ABCD. Por CC se traza una perpendicular a CF,CF, que corta a la prolongación de ABAB en E.E. El área de ABCDABCD es 256256 pulgadas cuadradas y el área del triángulo CEFCEF es 200200 pulgadas cuadradas. Entonces el número de pulgadas de BEBE es:
Point FF is taken in side ADAD of square ABCD.ABCD. At CC a perpendicular is drawn to CF,CF, meeting ABAB extended at E.E. The area of ABCDABCD is 256256 square inches and the area of triangle CEFCEF is 200200 square inches. Then the number of inches in BEBE is:
1212
1414
1515
1616
2020
Conceptos:cuadrado (geometría)congruencia (geometría)área del triánguloTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1900
Pista pequeña:
Demuestra que los triángulos rectángulos CDFCDF y CBECBE son congruentes
Show that right triangles CDFCDF and CBECBE are congruent
Pista grande:
Entonces CF=CE,CF=CE, así que usa el área del triángulo rectángulo CEFCEF
Then CF=CE,CF=CE, so use the area of right triangle CEFCEF
Solución:
Los ángulos agudos complementarios y los lados iguales del cuadrado dan △CDF≅△CBE,\triangle CDF\cong\triangle CBE, y por tanto CF=CE.CF=CE. Como CF⊥CE,CF\perp CE, 200=[CEF]=12CE⋅CF=12CE2, \begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned} de modo que CE=20.CE=20. El lado del cuadrado mide 16,16, y el triángulo rectángulo CBECBE da BE=202−162=12.BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The complementary acute angles and the equal square sides give △CDF≅△CBE,\triangle CDF\cong\triangle CBE, hence CF=CE.CF=CE. Since CF⊥CE,CF\perp CE, 200=[CEF]=12CE⋅CF=12CE2, \begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned} so CE=20.CE=20. The square side is 16,16, and right triangle CBECBE gives BE=202−162=12.BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.
Therefore, the correct answer is A.

26.

Forma I. Considera los enunciados
(1)p∧¬q∧r,(2)¬p∧¬q∧r,(3)p∧¬q∧¬r,(4)¬p∧q∧r, \begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}
donde p,p, q,q, rr son proposiciones. ¿Cuántos de ellos implican la verdad de (p→q)→r(p\to q)\to r?
Forma II. Considera los enunciados (1)(1) pp y rr son verdaderos y qq es falso, (2)(2) rr es verdadero y pp y qq son falsos, (3)(3) pp es verdadero y qq y rr son falsos, (4)(4) qq y rr son verdaderos y pp es falso. ¿Cuántos de ellos implican la verdad del enunciado «rr está implicado por la afirmación de que pp implica qq»?
Form I. Consider the statements
(1)p∧¬q∧r,(2)¬p∧¬q∧r,(3)p∧¬q∧¬r,(4)¬p∧q∧r, \begin{aligned} (1)\quad&p\land\neg q\land r,\\ (2)\quad&\neg p\land\neg q\land r,\\ (3)\quad&p\land\neg q\land\neg r,\\ (4)\quad&\neg p\land q\land r, \end{aligned}
where p,p, q,q, rr are propositions. How many of these imply the truth of (p→q)→r?(p\to q)\to r?
Form II. Consider the statements (1)(1) pp and rr are true and qq is false, (2)(2) rr is true and pp and qq are false, (3)(3) pp is true and qq and rr are false, (4)(4) qq and rr are true and pp is false. How many of these imply the truth of the statement “rr is implied by the statement that pp implies qq”?
00
11
22
33
44
Conceptos:deducción lógica
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Una implicación es falsa solo cuando su antecedente es verdadero y su consecuente es falso
An implication is false only when its antecedent is true and its consequent is false
Pista grande:
Evalúa primero p→qp\to q en cada una de las cuatro asignaciones
Evaluate p→qp\to q first in each of the four assignments
Solución:
En los casos (1)(1) y (3),(3), la proposición p→qp\to q es falsa, así que la implicación exterior es verdadera. En los casos (2)(2) y (4),(4), la proposición p→qp\to q es verdadera, pero rr también es verdadera, por lo que la implicación exterior vuelve a ser verdadera. Los cuatro enunciados la implican.
Así, la respuesta correcta es E.
In cases (1)(1) and (3),(3), p→qp\to q is false, so the outer implication is true. In cases (2)(2) and (4),(4), p→qp\to q is true, but rr is also true, so the outer implication is again true. All four statements imply it.
Thus, the correct answer is E.

27.

Se trazan seis rectas en un plano, sin que dos sean paralelas ni tres sean concurrentes. El número de regiones en que dividen el plano es:
Six straight lines are drawn in a plane with no two parallel and no three concurrent. The number of regions into which they divide the plane is:
1616
2020
2222
2424
2626
Conceptos:conteo de regionesconteo de interseccionessumatoria
Nivel de dificultad: 1520
Pista pequeña:
Las rectas anteriores cortan la kk-ésima recta en kk partes
The kkth line is cut into kk pieces by the previous lines
Pista grande:
Empieza con una región y suma 1+2+⋯+61+2+\cdots+6
Start with one region and add 1+2+⋯+61+2+\cdots+6
Solución:
Las rectas sucesivas crean 1,2,…,61,2,\ldots,6 regiones nuevas. Por tanto, el total es 1+∑k=16k=1+21=22. 1+\sum_{k=1}^{6}k=1+21=22.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Successive lines create 1,2,…,61,2,\ldots,6 new regions. Thus the total is 1+∑k=16k=1+21=22. 1+\sum_{k=1}^{6}k=1+21=22.
Therefore, the correct answer is C.

28.

Dada la ecuación 3x2−4x+k=03x^2-4x+k=0 con raíces reales, el valor de kk para el cual el producto de las raíces es máximo es:
Given the equation 3x2−4x+k=03x^2-4x+k=0 with real roots. The value of kk for which the product of the roots of the equation is a maximum is:
169\dfrac{16}{9}
163\dfrac{16}{3}
49\dfrac49
43\dfrac43
−43-\dfrac43
Conceptos:cuadráticaFórmulas de Vietaoptimización
Nivel de dificultad: 1210
Pista pequeña:
El producto de las raíces es k3\frac{k}{3}
The product of the roots is k3\frac{k}{3}
Pista grande:
Usa la condición del discriminante para hallar el mayor kk permitido
Use the discriminant condition to find the largest allowed kk
Solución:
Las raíces reales requieren 16−12k≥0,16-12k\geq0, así que k≤43.k\leq\frac{4}{3}. El producto de las raíces es k3,\frac{k}{3}, que crece con k.k. Por tanto, es máximo cuando k=43.k=\frac{4}{3}.
Así, la respuesta correcta es D.
Real roots require 16−12k≥0,16-12k\geq0, so k≤43.k\leq\frac{4}{3}. The root product is k3,\frac{k}{3}, which increases with k.k. It is therefore largest at k=43.k=\frac{4}{3}.
Thus, the correct answer is D.

29.

Una partícula lanzada verticalmente hacia arriba alcanza, al cabo de tt segundos, una altura de ss pies, donde s=160t−16t2.s=160t-16t^2. La altura máxima es:
A particle projected vertically upward reaches, at the end of tt seconds, an elevation of ss feet where s=160t−16t2.s=160t-16t^2. The highest elevation is:
800800
640640
400400
320320
160160
Conceptos:cuadráticaoptimización
Nivel de dificultad: 1320
Pista pequeña:
La altura es una cuadrática que abre hacia abajo
The height is a downward-opening quadratic
Pista grande:
Halla el tiempo del vértice usando −b2a-\frac{b}{2a}
Find its vertex time using −b2a-\frac{b}{2a}
Solución:
El vértice se alcanza cuando t=−1602⋅−16=5.t=-\frac{160}{2\cdot-16}=5. Entonces s(5)=160(5)−16(25)=400.s(5)=160(5)-16(25)=400.
Así, la respuesta correcta es C.
The vertex occurs at t=−1602⋅−16=5.t=-\frac{160}{2\cdot-16}=5. Then s(5)=160(5)−16(25)=400.s(5)=160(5)-16(25)=400.
Thus, the correct answer is C.

30.

Sea
F=log⁡1+x1−x. F=\log\frac{1+x}{1-x}.
Obtén una nueva función GG reemplazando cada xx de FF por
3x+x31+3x2, \frac{3x+x^3}{1+3x^2},
y simplifica. La expresión simplificada GG es igual a:
Let
F=log⁡1+x1−x. F=\log\frac{1+x}{1-x}.
Form a new function GG by replacing each xx in FF by
3x+x31+3x2, \frac{3x+x^3}{1+3x^2},
and simplify. The simplified expression GG is equal to:
−F-F
FF
3F3F
F3F^3
F3−FF^3-F
Conceptos:logaritmofactorizaciónmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2020
Pista pequeña:
Llama uu a la fracción sustituida y simplifica 1+u1−u\frac{1+u}{1-u}
Call the substituted fraction uu and simplify 1+u1−u\frac{1+u}{1-u}
Pista grande:
Su numerador y su denominador se factorizan como cubos
Its numerator and denominator factor as cubes
Solución:
Para u=3x+x31+3x2,u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}, 1+u1−u=1+3x+3x2+x31−3x+3x2−x3=(1+x1−x)3. \begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned} Por tanto, G=log⁡(1+x1−x)3,G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3, así que G=3F.G=3F.
Así, la respuesta correcta es C.
For u=3x+x31+3x2,u=\frac{3x+x^3}{1+3x^2}, 1+u1−u=1+3x+3x2+x31−3x+3x2−x3=(1+x1−x)3. \begin{aligned} \frac{1+u}{1-u} &=\frac{1+3x+3x^2+x^3} {1-3x+3x^2-x^3}\\ &=\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^3. \end{aligned} Therefore G=log⁡(1+x1−x)3,G=\log(\frac{1+x}{1-x})^3, so G=3F.G=3F.
Thus, the correct answer is C.

31.

El número de soluciones en enteros positivos de 2x+3y=7632x+3y=763 es:
The number of solutions in positive integers of 2x+3y=7632x+3y=763 is:
255255
254254
128128
127127
00
Conceptos:Ecuación diofánticaparidadconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1710
Pista pequeña:
Despeja x=763−3y2x=\frac{763-3y}{2}
Solve for x=763−3y2x=\frac{763-3y}{2}
Pista grande:
Para que xx sea un entero positivo, yy debe ser un entero positivo impar menor que 7633\frac{763}{3}
Positive integral xx requires yy to be an odd positive integer below 7633\frac{763}{3}
Solución:
Necesitamos que yy sea impar para que 763−3y763-3y sea par, y la positividad da 1≤y≤253.1\leq y\leq253. Los valores impares 1,1, 3,3, …,\ldots, y 253253 son 253+12=127.\frac{253+1}{2}=127.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
We need yy odd so that 763−3y763-3y is even, and positivity gives 1≤y≤253.1\leq y\leq253. The odd values 1,1, 3,3, …,\ldots, and 253253 number 253+12=127.\frac{253+1}{2}=127.
Therefore, the correct answer is D.

32.

Las dimensiones de un rectángulo RR son aa y b,b, con a<b.a\lt b. Se quiere obtener un rectángulo de dimensiones xx y y,y, con x<a,x\lt a, y<a,y\lt a, de modo que su perímetro sea un tercio del de R,R, y su área sea un tercio de la de R.R. El número de rectángulos distintos de este tipo es:
The dimensions of a rectangle RR are aa and b,b, a<b.a\lt b. It is required to obtain a rectangle with dimensions xx and y,y, x<a,x\lt a, y<a,y\lt a, so that its perimeter is one-third that of R,R, and its area is one-third that of R.R. The number of such (different) rectangles is:
00
11
22
44
infinitos
infinitely many
Conceptos:rectángulodesigualdadmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1990
Pista pequeña:
Traduce las condiciones en 3(x+y)=a+b3(x+y)=a+b y 3xy=ab3xy=ab
Translate the conditions into 3(x+y)=a+b3(x+y)=a+b and 3xy=ab3xy=ab
Pista grande:
Divide la ecuación de la suma entre la del producto y compara recíprocos usando x<a,x\lt a, y<a,y\lt a, y a<ba\lt b
Divide the sum equation by the product equation and compare reciprocals using x<a,x\lt a, y<a,y\lt a, and a<ba\lt b
Solución:
Las condiciones dan 3(x+y)=a+b3(x+y)=a+b y 3xy=ab.3xy=ab. Al dividir se obtiene 1x+1y=1a+1b.\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b. Pero x<ax\lt a y y<ay\lt a hacen que el lado izquierdo sea mayor que 2a,\frac{2}{a}, mientras que a<ba\lt b hace que el derecho sea menor que 2a.\frac{2}{a}. Esto es imposible.
Así, la respuesta correcta es A.
The conditions give 3(x+y)=a+b3(x+y)=a+b and 3xy=ab.3xy=ab. Dividing yields 1x+1y=1a+1b.\frac1x+\frac1y=\frac1a+\frac1b. But x<ax\lt a and y<ay\lt a make the left side greater than 2a,\frac{2}{a}, while a<ba\lt b makes the right side less than 2a.\frac{2}{a}. This is impossible.
Thus, the correct answer is A.

33.

Dada la recta y=34x+6y=\dfrac34x+6 y una recta LL paralela a ella y situada a 44 unidades de distancia, una posible ecuación de LL es:
Given the line y=34x+6y=\dfrac34x+6 and a line LL parallel to the given line and 44 units from it. A possible equation for LL is:
y=34x+1y=\dfrac34x+1
y=34xy=\dfrac34x
y=34x−23y=\dfrac34x-\dfrac23
y=34x−1y=\dfrac34x-1
y=34x+2y=\dfrac34x+2
Conceptos:rectas paralelasfórmula de la distanciapendiente
Nivel de dificultad: 1750
Pista pequeña:
Escribe las rectas paralelas como 3x−4y+c=03x-4y+c=0
Write parallel lines as 3x−4y+c=03x-4y+c=0
Pista grande:
La distancia es el valor absoluto de la diferencia de las constantes dividido entre 55
The distance equals the absolute difference of constants divided by 55
Solución:
La recta dada es 3x−4y+24=0.3x-4y+24=0. Una recta paralela y=3x4+by=\frac{3x}{4}+b es 3x−4y+4b=0,3x-4y+4b=0, por lo que la distancia es ∣24−4b∣5.\frac{|24-4b|}{5}. Al igualarla a 44 se obtiene ∣6−b∣=5,|6-b|=5, de donde b=1b=1 o 11.11. La opción A es posible.
Así, la respuesta correcta es A.
The given line is 3x−4y+24=0.3x-4y+24=0. A parallel line y=3x4+by=\frac{3x}{4}+b is 3x−4y+4b=0,3x-4y+4b=0, so the distance is ∣24−4b∣5.\frac{|24-4b|}{5}. Setting this equal to 44 gives ∣6−b∣=5,|6-b|=5, hence b=1b=1 or 11.11. Choice A is possible.
Thus, the correct answer is A.

34.

En el triángulo ABC,ABC, el lado a=3,a=\sqrt3, el lado b=3,b=\sqrt3, y el lado c>3.c\gt3. Sea xx el mayor número tal que la medida, en grados, del ángulo opuesto al lado cc supera a x.x. Entonces xx es igual a:
In triangle ABC,ABC, side a=3,a=\sqrt3, side b=3,b=\sqrt3, and side c>3.c\gt3. Let xx be the largest number such that the magnitude, in degrees, of the angle opposite side cc exceeds x.x. Then xx equals:
150150
120120
105105
9090
6060
Conceptos:ley de los cosenosdesigualdadacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1920
Pista pequeña:
Usa la ley de los cosenos para el ángulo CC opuesto a cc
Use the law of cosines for the angle CC opposite cc
Pista grande:
Compara c>3c\gt3 con el caso límite c=3c=3
Compare c>3c\gt3 with the limiting case c=3c=3
Solución:
La ley de los cosenos da cos⁡C=3+3−c2233=6−c26.\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}. Como c>3,c\gt3, se tiene cos⁡C<−12,\cos C\lt-\frac{1}{2}, así que C>120∘.C\gt120^\circ. Los valores pueden acercarse a 120∘120^\circ cuando cc se aproxima a 33 por encima, por lo que la mayor cota garantizada es 120.120.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The law of cosines gives cos⁡C=3+3−c2233=6−c26.\cos C=\frac{3+3-c^2}{2\sqrt3\sqrt3}=\frac{6-c^2}{6}. Since c>3,c\gt3, cos⁡C<−12,\cos C\lt-\frac{1}{2}, so C>120∘.C\gt120^\circ. Values can approach 120∘120^\circ as cc approaches 33 from above, so the largest guaranteed bound is 120.120.
Therefore, the correct answer is B.

35.

Las longitudes de los lados de un triángulo son enteros, y su área también es un entero. Un lado mide 2121 y el perímetro es 48.48. El lado más corto mide:
The lengths of the sides of a triangle are integers, and its area is also an integer. One side is 2121 and the perimeter is 48.48. The shortest side is:
88
1010
1212
1414
1616
Conceptos:Fórmula de Herónanálisis por casosdesigualdad triangular
Nivel de dificultad: 2100
Pista pequeña:
Escribe los otros lados como xx y 27−x27-x, con semiperímetro 2424
Write the other sides as xx and 27−x27-x, with semiperimeter 2424
Pista grande:
La fórmula de Herón hace que el área al cuadrado sea 72(24−x)(x−3)72(24-x)(x-3)
Heron’s formula makes the squared area 72(24−x)(x−3)72(24-x)(x-3)
Solución:
Sean los otros lados xx y 27−x,27-x, con x≤27−x.x\leq27-x. El semiperímetro es 24,24, así que la fórmula de Herón da K2=24⋅3(24−x)(x−3)=72(24−x)(x−3). \begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned} Las desigualdades del triángulo dan 4≤x≤13.4\leq x\leq13. Al comprobar estos enteros, la expresión no es un cuadrado para x=4,…,9,x=4,\ldots,9, mientras que para x=10x=10 vale 72⋅14⋅7=7056=842.72\cdot14\cdot7=7056=84^2. Por tanto, el lado más corto mide 10.10.
Así, la respuesta correcta es B.
Let the other sides be xx and 27−x,27-x, with x≤27−x.x\leq27-x. The semiperimeter is 24,24, so Heron’s formula gives K2=24⋅3(24−x)(x−3)=72(24−x)(x−3). \begin{aligned} K^2 &=24\cdot3(24-x)(x-3)\\ &=72(24-x)(x-3). \end{aligned} The triangle inequalities give 4≤x≤13.4\leq x\leq13. Checking these integers, the expression is not a square for x=4,…,9,x=4,\ldots,9, while at x=10x=10 it is 72⋅14⋅7=7056=842.72\cdot14\cdot7=7056=84^2. Thus the shortest side is 10.10.
Therefore, the correct answer is B.

36.

Una persona comienza con 6464 centavos y hace 66 apuestas. Gana tres veces y pierde tres veces, con las victorias y derrotas en orden aleatorio, y la probabilidad de ganar es igual a la de perder. Si cada apuesta es por la mitad del dinero que queda en ese momento, entonces el resultado final es:
A person starting with 6464 cents and making 66 bets, wins three times and loses three times, the wins and losses occurring in random order. The chance for a win is equal to the chance for a loss. If each wager is for half the money remaining at the time of the bet, then the final result is:
una pérdida de 2727¢
a loss of 2727¢
una ganancia de 2727¢
a gain of 2727¢
una pérdida de 3737¢
a loss of 3737¢
ni ganancia ni pérdida
neither a gain nor a loss
una ganancia o una pérdida según el orden de las victorias y derrotas
a gain or a loss depending upon the order in which the wins and losses occur
Conceptos:exponentesimulación de procesos
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
Una victoria multiplica la cantidad actual por 32\frac{3}{2}, mientras que una derrota la multiplica por 12\frac{1}{2}
A win multiplies the current amount by 32\frac{3}{2}, while a loss multiplies it by 12\frac{1}{2}
Pista grande:
La multiplicación hace que el orden sea irrelevante
Multiplication makes the order irrelevant
Solución:
Después de tres victorias y tres derrotas, la cantidad, en centavos, es 64(32)3(12)3=64⋅2764=27. \begin{aligned} 64\left(\frac32\right)^3 \left(\frac12\right)^3 &=64\cdot\frac{27}{64}\\ &=27. \end{aligned} La pérdida es de 64−27=3764-27=37 centavos, sin importar el orden.
Así, la respuesta correcta es C.
After three wins and three losses, the amount, in cents, is 64(32)3(12)3=64⋅2764=27. \begin{aligned} 64\left(\frac32\right)^3 \left(\frac12\right)^3 &=64\cdot\frac{27}{64}\\ &=27. \end{aligned} The loss is 64−27=3764-27=37 cents, regardless of order.
Thus, the correct answer is C.

37.

Se dan los puntos P1,P_1, P2,P_2, …,\ldots, P7P_7 sobre una recta, en el orden indicado, aunque no necesariamente equiespaciados. Sea PP un punto cualquiera de la recta y sea ss la suma de las longitudes no dirigidas
PP1, PP2, …, PP7. PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7.
Entonces ss es mínimo si y solo si el punto PP está:
Given points P1,P_1, P2,P_2, …,\ldots, P7P_7 on a straight line, in the order stated (not necessarily evenly spaced). Let PP be an arbitrarily selected point on the line and let ss be the sum of the undirected lengths
PP1, PP2, …, PP7. PP_1,\ PP_2,\ \ldots,\ PP_7.
Then ss is smallest if and only if the point PP is:
a mitad de camino entre P1P_1 y P7P_7
midway between P1P_1 and P7P_7
a mitad de camino entre P2P_2 y P6P_6
midway between P2P_2 and P6P_6
a mitad de camino entre P3P_3 y P5P_5
midway between P3P_3 and P5P_5
en P4P_4
at P4P_4
en P1P_1
at P1P_1
Conceptos:optimizaciónemparejamiento y agrupación
Nivel de dificultad: 1640
Pista pequeña:
Empareja las distancias a P1,P7P_1,P_7, luego las de P2,P6P_2,P_6, y finalmente las de P3,P5P_3,P_5
Pair the distances to P1,P7P_1,P_7, then P2,P6P_2,P_6, then P3,P5P_3,P_5
Pista grande:
Cada suma emparejada es mínima en todo el segmento entre sus puntos; el punto central no emparejado selecciona una posición
Each paired sum is minimized throughout its intervening segment; the unpaired middle point selects one location
Solución:
Para cualquier par Pi,P8−i,P_i,P_{8-i}, la suma PPi+PP8−iPP_i+PP_{8-i} es mínima cuando PP está entre ellos. Los tres intervalos de este tipo contienen P4.P_4. El término restante PP4PP_4 es mínimo únicamente cuando P=P4.P=P_4.
Así, la respuesta correcta es D.
For any pair Pi,P8−i,P_i,P_{8-i}, the sum PPi+PP8−iPP_i+PP_{8-i} is minimized when PP lies between them. The three such intervals all contain P4.P_4. The remaining term PP4PP_4 is uniquely minimized at P=P4.P=P_4.
Thus, the correct answer is D.

38.

El punto FF se toma en la prolongación del lado ADAD del paralelogramo ABCD.ABCD. La recta BFBF corta a la diagonal ACAC en EE y al lado DCDC en G.G. Si EF=32EF=32 y GF=24,GF=24, entonces BEBE es igual a:
Point FF is taken on the extension of side ADAD of parallelogram ABCD.ABCD. BFBF intersects diagonal ACAC at EE and side DCDC at G.G. If EF=32EF=32 and GF=24,GF=24, then BEBE equals:
44
88
1010
1212
1616
Conceptos:paralelogramovectorrazón y proporción
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Parametriza los puntos de FBFB por la fracción de la distancia de FF a BB
Parameterize points on FBFB by their fraction of the distance from FF to BB
Pista grande:
Si F=tDF=tD en coordenadas afines con origen en A,A, los parámetros de GG y EE son t−1t\frac{t-1}{t} y tt+1\frac{t}{t+1}
If F=tDF=tD in affine coordinates based at A,A, the parameters of GG and EE are t−1t\frac{t-1}{t} and tt+1\frac{t}{t+1}
Solución:
Usa coordenadas afines A=0,A=0, B=u,B=u, D=v,D=v, C=u+v,C=u+v, y F=tv.F=tv. Un punto de FBFB es su+t(1−s)v.su+t(1-s)v. La intersección con DCDC da sG=t−1t,s_G=\frac{t-1}{t}, mientras que la intersección con ACAC da sE=tt+1.s_E=\frac{t}{t+1}. Por tanto, GFEF=sGsE=t2−1t2=2432=34, \begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34, \end{aligned} de modo que t=2t=2 y sE=23.s_E=\frac{2}{3}. Así, EF=(23)FB=32,EF=(\frac{2}{3})FB=32, por lo que FB=48FB=48 y BE=16.BE=16.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Use affine coordinates A=0,A=0, B=u,B=u, D=v,D=v, C=u+v,C=u+v, and F=tv.F=tv. A point on FBFB is su+t(1−s)v.su+t(1-s)v. Intersecting DCDC gives sG=t−1t,s_G=\frac{t-1}{t}, while intersecting ACAC gives sE=tt+1.s_E=\frac{t}{t+1}. Therefore GFEF=sGsE=t2−1t2=2432=34, \begin{aligned} \frac{GF}{EF} &=\frac{s_G}{s_E} =\frac{t^2-1}{t^2}\\ &=\frac{24}{32}=\frac34, \end{aligned} so t=2t=2 and sE=23.s_E=\frac{2}{3}. Thus EF=(23)FB=32,EF=(\frac{2}{3})FB=32, making FB=48FB=48 and BE=16.BE=16.
Therefore, the correct answer is E.

39.

En el triángulo ABCABC se trazan las rectas CECE y ADAD de modo que CDDB=31\dfrac{CD}{DB}=\dfrac31 y AEEB=32.\dfrac{AE}{EB}=\dfrac32.
Sea r=CPPE,r=\dfrac{CP}{PE}, donde PP es el punto de intersección de CECE y AD.AD. Entonces rr es igual a:
In triangle ABCABC lines CECE and ADAD are drawn so that CDDB=31\dfrac{CD}{DB}=\dfrac31 and AEEB=32.\dfrac{AE}{EB}=\dfrac32.
Let r=CPPE,r=\dfrac{CP}{PE}, where PP is the intersection point of CECE and AD.AD. Then rr equals:
33
32\dfrac32
44
55
52\dfrac52
Conceptos:puntos de masarazón y proporción
Nivel de dificultad: 2030
Pista pequeña:
Asigna masas a los extremos inversamente proporcionales a las razones laterales dadas
Assign endpoint masses inversely proportional to the given side ratios
Pista grande:
Elige masas mA=2,m_A=2, mB=3,m_B=3, y mC=1m_C=1, y luego halla la masa en EE
Choose masses mA=2,m_A=2, mB=3,m_B=3, and mC=1m_C=1, then find the mass at EE
Solución:
La razón AE:EB=3:2AE:EB=3:2 se representa con masas mA=2m_A=2 y mB=3.m_B=3. La razón CD:DB=3:1CD:DB=3:1 da entonces mC=1.m_C=1. El punto EE tiene masa mA+mB=5,m_A+m_B=5, así que a lo largo de la ceviana CE,CE, CPPE=mEmC=51=5.\frac{CP}{PE}=\frac{m_E}{m_C}=\frac51=5.
Así, la respuesta correcta es D.
The ratio AE:EB=3:2AE:EB=3:2 is represented by masses mA=2m_A=2 and mB=3.m_B=3. The ratio CD:DB=3:1CD:DB=3:1 then gives mC=1.m_C=1. Point EE has mass mA+mB=5,m_A+m_B=5, so along cevian CE,CE, CPPE=mEmC=51=5.\frac{CP}{PE}=\frac{m_E}{m_C}=\frac51=5.
Thus, the correct answer is D.

40.

Si xx es un número que satisface la ecuación x+93−x−93=3,\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3, entonces x2x^2 está entre:
If xx is a number satisfying the equation x+93−x−93=3,\sqrt[3]{x+9}-\sqrt[3]{x-9}=3, then x2x^2 is between:
5555 y 6565
5555 and 6565
6565 y 7575
6565 and 7575
7575 y 8585
7575 and 8585
8585 y 9595
8585 and 9595
9595 y 105105
9595 and 105105
Conceptos:radicalsuma y diferencia de cubossimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 2290
Pista pequeña:
Sea u=x+93u=\sqrt[3]{x+9} y v=x−93v=\sqrt[3]{x-9}
Set u=x+93u=\sqrt[3]{x+9} and v=x−93v=\sqrt[3]{x-9}
Pista grande:
Usa tanto u−v=3u-v=3 como u3−v3=18u^3-v^3=18 para hallar uvuv
Use both u−v=3u-v=3 and u3−v3=18u^3-v^3=18 to find uvuv
Solución:
Sea u=x+93u=\sqrt[3]{x+9} y v=x−93.v=\sqrt[3]{x-9}. Entonces u−v=3u-v=3 y 18=u3−v3=(u−v)(u2+uv+v2), \begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned} por lo que u2+uv+v2=6.u^2+uv+v^2=6. Al comparar con (u−v)2=9(u-v)^2=9 se obtiene uv=−1.uv=-1. Por tanto, (u+v)2=5.(u+v)^2=5. Al elevar al cubo 2u=3±52u=3\pm\sqrt5 se obtiene x=±45,x=\pm4\sqrt5, y en ambos casos x2=80,x^2=80, que está entre 7575 y 85.85.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Let u=x+93u=\sqrt[3]{x+9} and v=x−93.v=\sqrt[3]{x-9}. Then u−v=3u-v=3 and 18=u3−v3=(u−v)(u2+uv+v2), \begin{aligned} 18&=u^3-v^3\\ &=(u-v)(u^2+uv+v^2), \end{aligned} so u2+uv+v2=6.u^2+uv+v^2=6. Comparing with (u−v)2=9(u-v)^2=9 gives uv=−1.uv=-1. Hence (u+v)2=5.(u+v)^2=5. Cubing 2u=3±52u=3\pm\sqrt5 gives x=±45,x=\pm4\sqrt5, and either way x2=80,x^2=80, between 7575 and 85.85.
Therefore, the correct answer is C.
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