1966 AMC 12 Problema 38

Question

En el triángulo

ABC

, las medianas

AM

y

CN

a los lados

BC

y

AB,

respectivamente, se cortan en

O.

P

es el punto medio del lado

AC,

y

MP

corta a

CN

en

Q.

Si el área del triángulo

OMQ

es

n,

entonces el área del triángulo

ABC

es:

In triangle

ABC

the medians

AM

and

CN

to sides

BC

and

AB,

respectively, intersect in point

O.

P

is the midpoint of side

AC,

and

MP

intersects

CN

in

Q.

If the area of triangle

OMQ

is

n,

then the area of triangle

ABC

is:

16n

18n

21n

24n

27n

Respuesta: D

Conceptos:razón de áreas baricentro geometría analítica mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Usa un modelo afín

A=(0,0),

B=(2,0),

y

C=(0,2)

Use an affine model

A=(0,0),

B=(2,0),

and

C=(0,2)

Pista grande:

Halla

M,O,P,Q

y compara las dos áreas

Find

M,O,P,Q

and compare the two areas

Solución:

Las razones de áreas son invariantes bajo transformaciones afines, así que toma

A=(0,0),

B=(2,0),

y

C=(0,2).

Entonces

\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}

La recta

MP

es

y=1,

y corta la mediana

CN

en

Q=(\frac{1}{2},1).

Así,

[OMQ]=\frac{1}{12},

mientras que

[ABC]=2.

Su razón es

24,

por lo que

[ABC]=24n.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Area ratios are affine-invariant, so take

A=(0,0),

B=(2,0),

and

C=(0,2).

Then

\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}

Line

MP

is

y=1,

and it meets median

CN

at

Q=(\frac{1}{2},1).

Thus

[OMQ]=\frac{1}{12},

while

[ABC]=2.

Their ratio is

24,

so

[ABC]=24n.

Therefore, the correct answer is D.