Sea s_1 la suma de los primeros n términos de la sucesión aritmética 8, 12, … , y sea s_2 la suma de los primeros n términos de la sucesión aritmética 17, 19, …. Entonces s_1=s_2 para:

(E) más de cuatro valores de n

Si log_MN=log_NM, M≠ N, MN>0, y M≠1, N≠1, entonces MN es igual a:

(E) un número mayor que 2 y menor que 10

1966 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

1.

Dado que la razón de

3x-4

a

y+15

es constante y que

y=3

cuando

x=2,

entonces, cuando

y=12,

x

es igual a:

Given that the ratio of

3x-4

to

y+15

is constant, and

y=3

when

x=2,

then, when

y=12,

x

equals:

\dfrac18

\dfrac87

\dfrac73

\dfrac72

8

Respuesta: C

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Usa

x=2

y

y=3

para hallar la razón constante

Use

x=2

and

y=3

to find the constant ratio

Pista grande:

Mantén

\frac{3x-4}{y+15}

igual a esa razón cuando

y=12

Keep

\frac{3x-4}{y+15}

equal to that ratio when

y=12

Solución:

El par dado hace que la razón sea

\frac{3\cdot2-4}{3+15}=\frac{1}{9}.

Por lo tanto, cuando

y=12,

\frac{3x-4}{27}=\frac19,

así que

3x-4=3

y

x=\frac{7}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The given pair makes the ratio

\frac{3\cdot2-4}{3+15}=\frac{1}{9}.

Therefore, when

y=12,

\frac{3x-4}{27}=\frac19,

so

3x-4=3

and

x=\frac{7}{3}.

Therefore, the correct answer is C.

2.

Cuando la base de un triángulo aumenta

10\%

y la altura correspondiente disminuye

10\%,

el cambio en el área es:

When the base of a triangle is increased

10\%

and the altitude to this base is decreased

10\%,

the change in area is:

aumento de

1\%

1\%

increase

aumento de

\dfrac12\%

\dfrac12\%

increase

0\%

disminución de

\dfrac12\%

\dfrac12\%

decrease

disminución de

1\%

1\%

decrease

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje área del triángulo

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

El área es proporcional al producto de la base por la altura

The area is proportional to the product of base and altitude

Pista grande:

Multiplica los factores de escala

1.1

y

0.9

Multiply the scale factors

1.1

and

0.9

Solución:

El área nueva es

1.1\cdot0.9=0.99

veces la anterior. Por lo tanto, es

1\%

menor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The new area is

1.1\cdot0.9=0.99

times the old area. It is therefore

1\%

smaller.

Thus, the correct answer is E.

3.

Si la media aritmética de dos números es

6

y su media geométrica es

10,

entonces una ecuación que tiene esos dos números como raíces es:

If the arithmetic mean of two numbers is

6

and their geometric mean is

10,

then an equation with the given two numbers as roots is:

x^2+12x+100=0

x^2+6x+100=0

x^2-12x-10=0

x^2-12x+100=0

x^2-6x+100=0

Respuesta: D

Conceptos:media Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Los dos números tienen suma

12

y producto

100

The two numbers have sum

12

and product

100

Pista grande:

Las raíces de suma

S

y producto

P

satisfacen

x^2-Sx+P=0

Roots with sum

S

and product

P

satisfy

x^2-Sx+P=0

Solución:

Si los números son

r,

y

s,

entonces

\frac{r+s}{2}=6

da

r+s=12,

mientras que

\sqrt{rs}=10

da

rs=100.

La ecuación mónica con esas raíces es

x^2-(r+s)x+rs=0,

es decir,

x^2-12x+100=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If the numbers are

r,

and

s,

then

\frac{r+s}{2}=6

gives

r+s=12,

while

\sqrt{rs}=10

gives

rs=100.

The monic equation with those roots is

x^2-(r+s)x+rs=0,

or

x^2-12x+100=0.

Therefore, the correct answer is D.

4.

El círculo

\mathrm{I}

está circunscrito a un cuadrado dado y el círculo

\mathrm{II}

está inscrito en él. Si

r

es la razón entre el área del círculo

\mathrm{I}

y la del círculo

\mathrm{II},

entonces

r

es igual a:

Circle

\mathrm{I}

is circumscribed about a given square and circle

\mathrm{II}

is inscribed in the given square. If

r

is the ratio of the area of circle

\mathrm{I}

to that of circle

\mathrm{II},

then

r

equals:

\sqrt2

2

\sqrt3

2\sqrt2

2\sqrt3

Respuesta: B

Conceptos:razón de áreas área del círculo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Para un cuadrado de lado

s,

compara los radios

\frac{s}{\sqrt2}

y

\frac{s}{2}

For square side

s,

compare radii

\frac{s}{\sqrt2}

and

\frac{s}{2}

Pista grande:

Las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados de sus radios

Circle areas are proportional to the squares of their radii

Solución:

Para un cuadrado de lado

s,

el círculo exterior tiene radio

\frac{s}{\sqrt2},

mientras que el interior tiene radio

\frac{s}{2}.

Por ello,

r=\frac{\pi(\frac{s}{\sqrt2})^2}{\pi(\frac{s}{2})^2}=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For square side

s,

the outer circle has radius

\frac{s}{\sqrt2},

while the inner circle has radius

\frac{s}{2}.

Hence

r=\frac{\pi(\frac{s}{\sqrt2})^2}{\pi(\frac{s}{2})^2}=2.

Therefore, the correct answer is B.

5.

El número de valores de

x

que satisfacen la ecuación

\frac{2x^2-10x}{x^2-5x}=x-3

es:

The number of values of

x

satisfying the equation

\frac{2x^2-10x}{x^2-5x}=x-3

is:

cero

zero

uno

one

dos

two

tres

three

un entero mayor que

3

an integer greater than

3

Respuesta: A

Conceptos:factorización ecuación racional

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Factoriza el numerador y el denominador antes de resolver

Factor numerator and denominator before solving

Pista grande:

No admitas valores que anulen el denominador original

Do not admit values that make the original denominator zero

Solución:

El denominador exige

x\ne0

y

x\ne5.

En ese dominio,

\frac{2x(x-5)}{x(x-5)}=2.

La ecuación restante

2=x-3

da

x=5,

que está excluido. Por lo tanto, no hay soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The denominator requires

x\ne0

and

x\ne5.

On that domain,

\frac{2x(x-5)}{x(x-5)}=2.

The remaining equation

2=x-3

gives

x=5,

which is excluded. Thus there are no solutions.

Therefore, the correct answer is A.

6.

AB

es el diámetro de un círculo con centro

O.

C

es un punto del círculo tal que el ángulo

BOC

mide

60^\circ.

Si el diámetro mide

5

pulgadas, la longitud de la cuerda

AC,

en pulgadas, es:

AB

is a diameter of a circle centered at

O.

C

is a point on the circle such that angle

BOC

is

60^\circ.

If the diameter of the circle is

5

inches, the length of chord

AC,

expressed in inches, is:

3

\dfrac{5\sqrt2}{2}

\dfrac{5\sqrt3}{2}

3\sqrt3

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:cuerda triángulo rectángulo especial

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Como

AB

es un diámetro,

\angle AOC=120^\circ

Because

AB

is a diameter,

\angle AOC=120^\circ

Pista grande:

Divide el triángulo isósceles

AOC

en dos triángulos

30

-

60

-

90

Split isosceles triangle

AOC

into two

30

-

60

-

90

triangles

Solución:

El radio es

\frac{5}{2},

y

\angle AOC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.

Una cuerda que subtiende

120^\circ

tiene longitud

2\left(\frac52\right)\sin60^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The radius is

\frac{5}{2},

and

\angle AOC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.

A chord subtending

120^\circ

has length

2\left(\frac52\right)\sin60^\circ=\frac{5\sqrt3}{2}.

Therefore, the correct answer is C.

7.

Sea

\frac{35x-29}{x^2-3x+2} =\frac{N_1}{x-1}+\frac{N_2}{x-2}

una identidad en

x.

El valor numérico de

N_1N_2

es:

Let

\frac{35x-29}{x^2-3x+2} =\frac{N_1}{x-1}+\frac{N_2}{x-2}

be an identity in

x.

The numerical value of

N_1N_2

is:

-246

-210

-29

210

246

Respuesta: A

Conceptos:ecuación lineal fracciones parciales

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Combina las dos fracciones sobre

(x-1)(x-2)

Combine the two fractions over

(x-1)(x-2)

Pista grande:

Compara el coeficiente de

x

y el término constante

Compare the coefficient of

x

and the constant term

Solución:

Al combinar el lado derecho se obtiene el numerador

\begin{aligned} &N_1(x-2)+N_2(x-1)\\ &\quad=(N_1+N_2)x\\ &\qquad-(2N_1+N_2). \end{aligned}

Así,

N_1+N_2=35

y

2N_1+N_2=29.

Por lo tanto,

N_1=-6,

N_2=41,

y

N_1N_2=-246.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Combining the right side gives numerator

\begin{aligned} &N_1(x-2)+N_2(x-1)\\ &\quad=(N_1+N_2)x\\ &\qquad-(2N_1+N_2). \end{aligned}

Thus

N_1+N_2=35

and

2N_1+N_2=29.

Hence

N_1=-6,

N_2=41,

and

N_1N_2=-246.

Therefore, the correct answer is A.

8.

La cuerda común de dos círculos que se cortan mide

16

pies. Si los radios miden

10

y

17

pies, un valor posible de la distancia entre los centros, expresada en pies, es:

The length of the common chord of two intersecting circles is

16

feet. If the radii are

10

feet and

17

feet, a possible value for the distance between the centers of the circles, expressed in feet, is:

27

21

\sqrt{389}

15

indeterminado

undetermined

Respuesta: B

Conceptos:cuerda círculo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

La recta de los centros biseca perpendicularmente la cuerda común

The line of centers perpendicularly bisects the common chord

Pista grande:

Halla la distancia de cada centro a la cuerda usando la semicuarda

8

Find each center’s distance from the chord using half-chord

8

Solución:

La semicuarda mide

8.

Las dos distancias perpendiculares de los centros a su recta son

\begin{gathered} \sqrt{10^2-8^2}=6,\\ \sqrt{17^2-8^2}=15. \end{gathered}

Si los centros están en lados opuestos de la cuerda, su distancia es

6+15=21,

que es un valor posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The half-chord has length

8.

The two perpendicular distances from the centers to its line are

\begin{gathered} \sqrt{10^2-8^2}=6,\\ \sqrt{17^2-8^2}=15. \end{gathered}

If the centers lie on opposite sides of the chord, their distance is

6+15=21,

which is a possible value.

Therefore, the correct answer is B.

9.

Si

x=(\log_8 2)^{(\log_2 8)},

entonces

\log_3 x

es igual a:

If

x=(\log_8 2)^{(\log_2 8)},

then

\log_3 x

equals:

-3

-\dfrac13

\dfrac13

3

9

Respuesta: A

Conceptos:exponente logaritmo

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Evalúa

\log_8 2

y

\log_2 8

por separado

Evaluate

\log_8 2

and

\log_2 8

separately

Pista grande:

Expresa la potencia resultante como potencia de

3

Express the resulting power as a power of

3

Solución:

Tenemos

\log_8 2=\frac{1}{3}

y

\log_2 8=3.

Por lo tanto,

x=(\frac{1}{3})^3=3^{-3},

así que

\log_3x=-3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have

\log_8 2=\frac{1}{3}

and

\log_2 8=3.

Therefore

x=(\frac{1}{3})^3=3^{-3},

so

\log_3x=-3.

Thus, the correct answer is A.

10.

Si la suma de dos números es

1

y su producto es

1,

entonces la suma de sus cubos es, donde

i=\sqrt{-1}:

If the sum of two numbers is

1

and their product is

1,

then the sum of their cubes is, where

i=\sqrt{-1}:

2

-2-\dfrac{3\sqrt3i}{4}

0

-\dfrac{3\sqrt3i}{4}

-2

Respuesta: E

Conceptos:número complejo suma y diferencia de cubos simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Usa

u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)

Use

u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)

Pista grande:

Sustituye directamente la suma y el producto dados

Substitute the given sum and product directly

Solución:

Si los números son

u,

y

v,

entonces

\begin{aligned} u^3+v^3 &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=1^3-3=-2. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

If the numbers are

u,

and

v,

then

\begin{aligned} u^3+v^3 &=(u+v)^3-3uv(u+v)\\ &=1^3-3=-2. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

11.

Los lados del triángulo

BAC

están en la razón

2:3:4.

BD

es la bisectriz trazada hacia el lado más corto

AC,

que lo divide en los segmentos

AD

y

CD.

Si

AC

mide

10,

entonces la longitud del segmento mayor de

AC

es:

The sides of triangle

BAC

are in the ratio

2:3:4.

BD

is the angle-bisector drawn to the shortest side

AC,

dividing it into segments

AD

and

CD.

If the length of

AC

is

10,

then the length of the longer segment of

AC

is:

3\dfrac12

5

5\dfrac57

6

7\dfrac12

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Como

AC

es el lado más corto, los lados adyacentes están en razón

3:4

Since

AC

is the shortest side, the adjacent sides are in ratio

3:4

Pista grande:

Aplica el teorema de la bisectriz a

AD:DC

Apply the angle-bisector theorem to

AD:DC

Solución:

Los lados adyacentes al ángulo

B

están en razón

3:4.

Por el teorema de la bisectriz,

AD:DC=3:4.

Por lo tanto, la mayor de las dos partes es

\frac4{3+4}\cdot10=\frac{40}{7}=5\frac57.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sides adjacent to angle

B

are in ratio

3:4.

By the angle-bisector theorem,

AD:DC=3:4.

The longer of the two parts is therefore

\frac4{3+4}\cdot10=\frac{40}{7}=5\frac57.

Therefore, the correct answer is C.

12.

El número de valores reales de

x

que satisfacen la ecuación

(2^{6x+3})(4^{3x+6})=8^{4x+5}

es:

The number of real values of

x

that satisfy the equation

(2^{6x+3})(4^{3x+6})=8^{4x+5}

is:

0

1

2

3

mayor que

3

greater than

3

Respuesta: E

Conceptos:manipulación algebraica exponente

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Reescribe cada término con base

2

Rewrite every term with base

2

Pista grande:

Compara el exponente total de cada lado antes de intentar despejar

x

Compare the total exponent on each side before trying to solve for

x

Solución:

En base

2,

el exponente del lado izquierdo es

\begin{aligned} &(6x+3)+2(3x+6)\\ &\qquad=12x+15, \end{aligned}

y el del lado derecho es

3(4x+5)=12x+15.

La ecuación es una identidad para todo

x

real, así que tiene más de tres soluciones reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

In base

2,

the left exponent is

\begin{aligned} &(6x+3)+2(3x+6)\\ &\qquad=12x+15, \end{aligned}

and the right exponent is

3(4x+5)=12x+15.

The equation is an identity for every real

x,

so it has more than three real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

13.

El número de puntos con coordenadas racionales positivas entre los puntos del plano

xy

que satisfacen

x+y\leq5,

es:

The number of points with positive rational coordinates selected from the set of points in the

xy

-plane such that

x+y\leq5,

is:

9

10

14

15

infinito

infinite

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica desigualdad

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Intenta fijar una coordenada racional positiva

Try fixing one positive rational coordinate

Pista grande:

Hay infinitos números racionales positivos en un intervalo

There are infinitely many positive rational numbers in an interval

Solución:

Por ejemplo, toma

y=1.

Cada racional positivo

x\leq4

da entonces un punto permitido

(x,1),

y hay infinitos racionales de ese tipo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For example, set

y=1.

Every positive rational

x\leq4

then gives an allowed point

(x,1),

and there are infinitely many such rationals.

Therefore, the correct answer is E.

14.

El rectángulo

ABCD

mide

5

pulgadas de largo y

3

de ancho. Los puntos

E

y

F

dividen la diagonal

AC

en tres segmentos iguales. El área del triángulo

BEF,

expresada en pulgadas cuadradas, es:

The length of rectangle

ABCD

is

5

inches and its width is

3

inches. Diagonal

AC

is divided into three equal segments by points

E

and

F.

The area of triangle

BEF,

expressed in square inches, is:

\dfrac32

\dfrac53

\dfrac52

\dfrac13\sqrt{34}

\dfrac13\sqrt{68}

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica rectángulo área del triángulo

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Coloca el rectángulo en

(0,0),

(5,0),

(5,3),

y

(0,3)

Place the rectangle at

(0,0),

(5,0),

(5,3),

and

(0,3)

Pista grande:

Los puntos de trisección de la diagonal

AC

tienen coordenadas sencillas

The trisection points of diagonal

AC

have easy coordinates

Solución:

Toma

A=(0,0),

B=(5,0),

y

C=(5,3).

Entonces

E=(\frac{5}{3},1)

y

F=(\frac{10}{3},2).

La fórmula del determinante da

\begin{aligned} [BEF] &=\frac12\left| \left(-\frac{10}{3}\right)2 -\left(-\frac53\right)1 \right|\\ &=\frac52. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take

A=(0,0),

B=(5,0),

and

C=(5,3).

Then

E=(\frac{5}{3},1)

and

F=(\frac{10}{3},2).

The determinant formula gives

\begin{aligned} [BEF] &=\frac12\left| \left(-\frac{10}{3}\right)2 -\left(-\frac53\right)1 \right|\\ &=\frac52. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

15.

Si

x-y\gt x

y

x+y\lt y,

entonces:

If

x-y\gt x

and

x+y\lt y,

then:

y\lt x

x\lt y

x\lt y\lt0

x\lt0,

y

y\lt0

x\lt0,

and

y\lt0

x\lt0,

y

y\gt0

x\lt0,

and

y\gt0

Respuesta: D

Conceptos:manipulación algebraica desigualdad

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Resta

x

en ambos lados de la primera desigualdad

Subtract

x

from the first inequality

Pista grande:

Resta

y

en ambos lados de la segunda desigualdad

Subtract

y

from the second inequality

Solución:

De

x-y\gt x

se obtiene

-y\gt0,

por lo que

y\lt0.

De

x+y\lt y

se obtiene

x\lt0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

From

x-y\gt x

we get

-y\gt0,

so

y\lt0.

From

x+y\lt y

we get

x\lt0.

Therefore, the correct answer is D.

16.

Si

\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}

x

y

y

son números reales, entonces

xy

es igual a:

If

\begin{gathered} \dfrac{4^x}{2^{x+y}}=8,\\ \dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}}=243, \end{gathered}

x

and

y

are real numbers, then

xy

equals:

1\dfrac34

4

6

12

-4

Respuesta: B

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Reescribe las dos ecuaciones con bases

2

y

3

Rewrite both equations with bases

2

and

3

Pista grande:

Iguala exponentes para obtener dos ecuaciones lineales en

x

y

y

Equate exponents to obtain two linear equations in

x

and

y

Solución:

La primera ecuación se convierte en

2^{x-y}=2^3,

por lo que

x-y=3.

La segunda se convierte en

3^{2x-3y}=3^5,

por lo que

2x-3y=5.

Al resolver se obtiene

y=1,

x=4,

y por ello

xy=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The first equation becomes

2^{x-y}=2^3,

so

x-y=3.

The second becomes

3^{2x-3y}=3^5,

so

2x-3y=5.

Solving gives

y=1,

x=4,

and hence

xy=4.

Therefore, the correct answer is B.

17.

El número de puntos distintos comunes a las curvas

x^2+4y^2=1

y

4x^2+y^2=4

es:

The number of distinct points common to the curves

x^2+4y^2=1

and

4x^2+y^2=4

is:

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:elipse sustitución sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Usa la primera ecuación para sustituir

x^2

en la segunda

Use the first equation to substitute for

x^2

in the second

Pista grande:

Después de hallar

y,

cuenta los dos signos posibles de

x

After finding

y,

count both possible signs of

x

Solución:

De la primera ecuación,

x^2=1-4y^2.

Al sustituir en la segunda se obtiene

4(1-4y^2)+y^2=4,

por lo que

y=0.

Entonces

x^2=1,

lo que da los dos puntos

(1,0)

y

(-1,0).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

From the first equation,

x^2=1-4y^2.

Substitution into the second gives

4(1-4y^2)+y^2=4,

so

y=0.

Then

x^2=1,

giving the two points

(1,0)

and

(-1,0).

Therefore, the correct answer is C.

18.

En cierta sucesión aritmética, el primer término es

2,

el último es

29,

y la suma de todos los términos es

155.

La diferencia común es:

In a given arithmetic sequence the first term is

2,

the last term is

29,

and the sum of all the terms is

155.

The common difference is:

3

2

\dfrac{27}{19}

\dfrac{13}{9}

\dfrac{23}{38}

Respuesta: A

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Usa

155=\frac{n(2+29)}{2}

para hallar el número de términos

Use

155=\frac{n(2+29)}{2}

to find the number of terms

Pista grande:

Luego usa

29=2+(n-1)d

Then use

29=2+(n-1)d

Solución:

La fórmula de la suma da

155=\frac{31n}{2},

por lo que

n=10.

Entonces

29=2+9d,

y

d=3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The sum formula gives

155=\frac{31n}{2},

so

n=10.

Therefore

29=2+9d,

and

d=3.

Thus, the correct answer is A.

19.

Sea

s_1

la suma de los primeros

n

términos de la sucesión aritmética

8,

12,

\ldots

, y sea

s_2

la suma de los primeros

n

términos de la sucesión aritmética

17,

19,

\ldots.

Entonces

s_1=s_2

para:

Let

s_1

be the sum of the first

n

terms of the arithmetic sequence

8,

12,

\ldots

and let

s_2

be the sum of the first

n

terms of the arithmetic sequence

17,

19,

\ldots.

Then

s_1=s_2

for:

ningún valor de

n

no value of

n

un valor de

n

one value of

n

dos valores de

n

two values of

n

cuatro valores de

n

four values of

n

más de cuatro valores de

n

more than four values of

n

Respuesta: B

Conceptos:sucesión aritmética cuadrática sumatoria

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Escribe una fórmula de suma para cada progresión

Write a sum formula for each progression

Pista grande:

Cancela el factor positivo

n

después de igualar las sumas

Cancel the positive factor

n

after equating the sums

Solución:

Las dos sumas son

\begin{gathered} s_1=2n^2+6n,\\ s_2=n^2+16n. \end{gathered}

Al igualarlas se obtiene

n(n-10)=0.

Como el número de términos es positivo, solo funciona

n=10

, así que hay un valor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The two sums are

\begin{gathered} s_1=2n^2+6n,\\ s_2=n^2+16n. \end{gathered}

Equality gives

n(n-10)=0.

Since a number of terms is positive, only

n=10

works, so there is one value.

Therefore, the correct answer is B.

20.

Si la proposición “

a=0

” es verdadera, la negación de la proposición “Para valores reales de

a

y

b,

si

a=0,

entonces

ab=0

” es:

If the proposition “

a=0

” is true, the negation of the proposition “For real values of

a

and

b,

if

a=0,

then

ab=0

” is:

Si

a\ne0,

entonces

ab\ne0

If

a\ne0,

then

ab\ne0

Si

a\ne0,

entonces

ab=0

If

a\ne0,

then

ab=0

Si

a=0,

entonces

ab\ne0

If

a=0,

then

ab\ne0

Si

ab\ne0,

entonces

a\ne0

If

ab\ne0,

then

a\ne0

Si

ab=0,

entonces

a\ne0

If

ab=0,

then

a\ne0

Respuesta: C

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

La negación de una conclusión verdadera es su enunciado opuesto

The negation of a true conclusion is its opposite statement

Pista grande:

Bajo la suposición dada

a=0,

niega la conclusión

ab=0

Under the stated assumption

a=0,

negate the conclusion

ab=0

Solución:

Se supone verdadera la premisa

a=0

. Por ello, negar la implicación niega su conclusión:

ab=0

se convierte en

ab\ne0.

Así, el enunciado pedido es “Si

a=0,

entonces

ab\ne0.

”

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The stated premise

a=0

is assumed true. Negating the implication therefore negates its conclusion:

ab=0

becomes

ab\ne0.

Thus the required statement is “If

a=0,

then

ab\ne0.

”

Therefore, the correct answer is C.

21.

Se forma una “estrella de

n

puntas” así: los lados de un polígono convexo se numeran consecutivamente

1,

2,

\ldots,

k,

\ldots,

n,

n\geq5;

para los

n

valores de

k,

los lados

k

y

k+2

no son paralelos, y los lados

n+1

y

n+2

son respectivamente idénticos a los lados

1

y

2;

se prolongan los

n

pares de lados numerados

k

y

k+2

hasta que se corten. (Se muestra una figura para el caso

n=5.

)

Sea

S

la suma en grados de los ángulos interiores en las

n

puntas de la estrella; entonces

S

es igual a:

An “

n

-pointed star” is formed as follows: the sides of a convex polygon are numbered consecutively

1,

2,

\ldots,

k,

\ldots,

n,

n\geq5;

for all

n

values of

k,

sides

k

and

k+2

are non-parallel, sides

n+1

and

n+2

being respectively identical with sides

1

and

2;

prolong the

n

pairs of sides numbered

k

and

k+2

until they meet. (A figure is shown for the case

n=5.

)

Let

S

be the degree-sum of the interior angles at the

n

points of the star; then

S

equals:

180

360

180(n+2)

180(n-2)

180(n-4)

Respuesta: E

Conceptos:persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Relaciona cada ángulo de una punta con dos ángulos interiores adyacentes del polígono original

Relate each star-tip angle to two adjacent interior angles of the original polygon

Pista grande:

La suma de los ángulos interiores del polígono original es

180(n-2)

grados

The original polygon’s interior-angle sum is

180(n-2)

degrees

Solución:

Sean

a_1,\ldots,a_n.

los ángulos interiores del polígono original. El ángulo de la estrella formado por los lados

k

y

k+2

es

a_k+a_{k+1}-180^\circ.

Al sumar cíclicamente se cuenta cada

a_k

dos veces. Por ello,

\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the original polygon’s interior angles be

a_1,\ldots,a_n.

The star angle made from sides

k

and

k+2

equals

a_k+a_{k+1}-180^\circ.

Summing cyclically counts each

a_k

twice. Hence

\begin{aligned} S&=2\sum_{k=1}^n a_k-180n\\ &=2\cdot180(n-2)-180n\\ &=180(n-4). \end{aligned}

Therefore, the correct answer is E.

22.

Considera las afirmaciones:

\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0

\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab

\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b

\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b

donde se permite que

a

y

b

sean números reales o complejos. Las afirmaciones que tienen soluciones distintas de

a=0

y

b=0,

son:

Consider the statements:

\text{(I) }\sqrt{a^2+b^2}=0

\text{(II) }\sqrt{a^2+b^2}=ab

\text{(III) }\sqrt{a^2+b^2}=a+b

\text{(IV) }\sqrt{a^2+b^2}=a-b

where we allow

a

and

b

to be real or complex numbers. Those statements for which there exist solutions other than

a=0

and

b=0,

are:

(\mathrm{I}),

(\mathrm{II}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

solo

(\mathrm{II}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

(\mathrm{II}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

solo

(\mathrm{I}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

(\mathrm{I}),

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

solo

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

(\mathrm{III}),

(\mathrm{IV})

only

solo

(\mathrm{I})

(\mathrm{I})

only

Respuesta: A

Conceptos:número complejo contraejemplo radical

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Basta un ejemplo no nulo para cada afirmación

One nonzero example is enough for each statement

Pista grande:

Prueba

b=i

para

(\mathrm{I}),

valores positivos iguales para

(\mathrm{II}),

y

b=0

para

(\mathrm{III})

y

(\mathrm{IV})

Try

b=i

for

(\mathrm{I}),

equal positive values for

(\mathrm{II}),

and

b=0

for

(\mathrm{III})

and

(\mathrm{IV})

Solución:

Cada afirmación tiene una solución no nula. Para

(\mathrm{I}),

usa

(a,b)=(1,i).

Para

(\mathrm{II}),

usa

a=b=\sqrt2,

lo que da

\sqrt4=2=ab.

Para

(\mathrm{III})

y

(\mathrm{IV}),

usa

(a,b)=(1,0).

Por lo tanto, sirven las cuatro afirmaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Every statement has a nonzero solution. For

(\mathrm{I}),

use

(a,b)=(1,i).

For

(\mathrm{II}),

use

a=b=\sqrt2,

giving

\sqrt4=2=ab.

For both

(\mathrm{III})

and

(\mathrm{IV}),

use

(a,b)=(1,0).

Thus all four statements qualify.

Therefore, the correct answer is A.

23.

Si

x

es real y

4y^2+4xy+x+6=0,

entonces el conjunto completo de valores de

x

para los que

y

es real es:

If

x

is real and

4y^2+4xy+x+6=0,

then the complete set of values of

x

for which

y

is real, is:

x\leq-2

o

x\geq3

x\leq-2

or

x\geq3

x\leq2

o

x\geq3

x\leq2

or

x\geq3

x\leq-3

o

x\geq2

x\leq-3

or

x\geq2

-3\leq x\leq2

-2\leq x\leq3

Respuesta: A

Conceptos:desigualdad cuadrática

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Trata la ecuación como una cuadrática en

y

Treat the equation as a quadratic in

y

Pista grande:

Exige que su discriminante

16(x-3)(x+2)

sea no negativo

Require its discriminant

16(x-3)(x+2)

to be nonnegative

Solución:

Como cuadrática en

y,

la ecuación tiene discriminante

\begin{aligned} &(4x)^2-16(x+6)\\ &\qquad=16(x-3)(x+2). \end{aligned}

Este es no negativo exactamente cuando

x\leq-2

o

x\geq3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

As a quadratic in

y,

the equation has discriminant

\begin{aligned} &(4x)^2-16(x+6)\\ &\qquad=16(x-3)(x+2). \end{aligned}

This is nonnegative exactly when

x\leq-2

or

x\geq3.

Therefore, the correct answer is A.

24.

Si

\log_MN=\log_NM,

M\ne N,

MN\gt0,

y

M\ne1,

N\ne1,

entonces

MN

es igual a:

If

\log_MN=\log_NM,

M\ne N,

MN\gt0,

and

M\ne1,

N\ne1,

then

MN

equals:

\dfrac12

1

2

10

un número mayor que

2

y menor que

10

a number greater than

2

and less than

10

Respuesta: B

Conceptos:manipulación algebraica logaritmo

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Escribe ambos logaritmos mediante logaritmos naturales

Write both logarithms using natural logs

Pista grande:

La igualdad da

(\ln M)^2=(\ln N)^2

; usa

M\ne N

The equality gives

(\ln M)^2=(\ln N)^2

; use

M\ne N

Solución:

El cambio de base da

\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},

por lo que

(\ln M)^2=(\ln N)^2.

La igualdad de los propios logaritmos daría

M=N,

lo cual está excluido. Por ello,

\ln M=-\ln N,

y

\ln(MN)=0.

Así,

MN=1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Change of base gives

\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},

so

(\ln M)^2=(\ln N)^2.

Equality of the logs themselves would give

M=N,

which is excluded. Hence

\ln M=-\ln N,

and

\ln(MN)=0.

Thus

MN=1.

Therefore, the correct answer is B.

25.

Si

F(n+1)=\dfrac{2F(n)+1}{2}

para

n=1,

2,

\ldots,

y

F(1)=2,

entonces

F(101)

es igual a:

If

F(n+1)=\dfrac{2F(n)+1}{2}

for

n=1,

2,

\ldots,

and

F(1)=2,

then

F(101)

equals:

49

50

51

52

53

Respuesta: D

Conceptos:sucesión aritmética recursión

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Simplifica la recurrencia a

F(n+1)=F(n)+\frac{1}{2}

Simplify the recurrence to

F(n+1)=F(n)+\frac{1}{2}

Pista grande:

Cuenta los incrementos desde

n=1

hasta

n=101

Count the increments from

n=1

to

n=101

Solución:

Cada paso suma

\frac{1}{2}.

Hay

100

pasos desde

F(1)

hasta

F(101),

por lo que

F(101)=2+\frac{100}{2}=52.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each step adds

\frac{1}{2}.

There are

100

steps from

F(1)

to

F(101),

so

F(101)=2+\frac{100}{2}=52.

Therefore, the correct answer is D.

26.

Sea

m

un entero positivo, y supongamos que las rectas

13x+11y=700

y

y=mx-1

se cortan en un punto de coordenadas enteras. Entonces

m

puede ser:

Let

m

be a positive integer and let the lines

13x+11y=700

and

y=mx-1

intersect in a point whose coordinates are integers. Then

m

can be:

solo

4

4

only

solo

5

5

only

solo

6

6

only

solo

7

7

only

uno de los enteros

4,

5,

6,

7

y otro entero positivo

one of the integers

4,

5,

6,

7

and one other positive integer

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica divisibilidad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Sustituye

y=mx-1

en la primera recta

Substitute

y=mx-1

into the first line

Pista grande:

Para que

x

sea entero,

13+11m

debe dividir a

711

For integer

x,

the number

13+11m

must divide

711

Solución:

La sustitución da

(13+11m)x=711.

Así,

13+11m

debe ser un divisor positivo de

711=3^2\cdot79.

Entre los divisores mayores que

13,

solo

79

es congruente con

13\pmod{11}.

Por ello,

13+11m=79,

así que

m=6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substitution gives

(13+11m)x=711.

Thus

13+11m

must be a positive divisor of

711=3^2\cdot79.

Among divisors greater than

13,

only

79

is congruent to

13\pmod{11}.

Hence

13+11m=79,

so

m=6.

Therefore, the correct answer is C.

27.

A su velocidad habitual, un hombre rema

15

millas río abajo en cinco horas menos de lo que tarda en regresar. Si duplica su velocidad habitual, el tiempo río abajo es solo una hora menor que el tiempo río arriba. La velocidad de la corriente, en millas por hora, es:

At his usual rate a man rows

15

miles downstream in five hours less time than it takes him to return. If he doubles his usual rate, the time downstream is only one hour less than the time upstream. In miles per hour, the rate of the stream’s current is:

2

\dfrac52

3

\dfrac72

4

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional velocidad relativa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Sea

v

la velocidad del remero en agua quieta y

c

la de la corriente

Let

v

be the rower’s still-water speed and

c

the current speed

Pista grande:

Expresa las dos diferencias de tiempo usando las velocidades

v\pm c

y

2v\pm c

Translate the two time differences using speeds

v\pm c

and

2v\pm c

Solución:

Las dos diferencias de tiempo dan

\begin{aligned} \frac{15}{v-c}-\frac{15}{v+c}&=5,\\ \frac{15}{2v-c}-\frac{15}{2v+c}&=1. \end{aligned}

Estas se simplifican a

v^2-c^2=6c

y

4v^2-c^2=30c.

Al sustituir

v^2=c^2+6c

en la segunda se obtiene

3c^2-6c=0.

Como

c\gt0,

se tiene

c=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The two time differences give

\begin{aligned} \frac{15}{v-c}-\frac{15}{v+c}&=5,\\ \frac{15}{2v-c}-\frac{15}{2v+c}&=1. \end{aligned}

These simplify to

v^2-c^2=6c

and

4v^2-c^2=30c.

Substituting

v^2=c^2+6c

into the second gives

3c^2-6c=0.

Since

c\gt0,

we have

c=2.

Therefore, the correct answer is A.

28.

Se toman, en este orden, cinco puntos

O,

A,

B,

C,

D

sobre una recta, con distancias

OA=a,

OB=b,

OC=c,

y

OD=d.

P

es un punto de la recta entre

B

y

C

tal que

AP:PD=BP:PC.

Entonces

OP

es igual a:

Five points

O,

A,

B,

C,

D

are taken in order on a straight line with distances

OA=a,

OB=b,

OC=c,

and

OD=d.

P

is a point on the line between

B

and

C

and such that

AP:PD=BP:PC.

Then

OP

equals:

\dfrac{b^2-bc}{a-b+c-d}

\dfrac{ac-bd}{a-b+c-d}

-\dfrac{bd+ac}{a-b+c-d}

\dfrac{bc+ad}{a+b+c+d}

\dfrac{ac-bd}{a+b+c+d}

Respuesta: B

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Escribe

p=OP.

Entonces

AP=p-a,

PD=d-p,

BP=p-b,

y

PC=c-p

Write

p=OP.

Then

AP=p-a,

PD=d-p,

BP=p-b,

and

PC=c-p

Pista grande:

Multiplica en cruz la igualdad de razones después de esas sustituciones

Cross-multiply the two given ratios after making those substitutions

Solución:

Sea

p=OP.

La razón dada se convierte en

\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}.

Al multiplicar en cruz se cancelan los términos

p^2

y se obtiene

p(a-b+c-d)=ac-bd.

Por lo tanto,

p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

p=OP.

The given ratio becomes

\frac{p-a}{d-p}=\frac{p-b}{c-p}.

Cross-multiplication cancels the

p^2

terms and yields

p(a-b+c-d)=ac-bd.

Therefore

p=\frac{ac-bd}{a-b+c-d}.

Thus, the correct answer is B.

29.

El número de enteros positivos menores que

1000

que no son divisibles ni por

5

ni por

7

es:

The number of positive integers less than

1000

divisible by neither

5

nor

7

is:

688

686

684

658

630

Respuesta: B

Conceptos:conteo de enteros en un rango divisibilidad inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Hay

999

enteros positivos menores que

1000

There are

999

positive integers below

1000

Pista grande:

Resta los múltiplos de

5

y

7

, y luego vuelve a sumar los múltiplos de

35

Subtract multiples of

5

and

7

, then add back multiples of

35

Solución:

Por inclusión-exclusión, la cantidad es

\begin{aligned} &999-\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor\\ &=999-199-142+28\\ &=686. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By inclusion-exclusion, the count is

\begin{aligned} &999-\left\lfloor\frac{999}{5}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{999}{7}\right\rfloor\\ &\quad+\left\lfloor\frac{999}{35}\right\rfloor\\ &=999-199-142+28\\ &=686. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.

30.

Si tres de las raíces de

x^4+ax^2+bx+c=0

son

1,

2,

y

3,

entonces el valor de

a+c

es:

If three of the roots of

x^4+ax^2+bx+c=0

are

1,

2,

and

3,

then the value of

a+c

is:

35

24

-12

-61

-63

Respuesta: D

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

La ausencia del coeficiente de

x^3

hace que la suma de las cuatro raíces sea cero

The missing

x^3

coefficient makes the sum of all four roots zero

Pista grande:

Usa la cuarta raíz para calcular la suma por pares

a

y el producto

c

Use the fourth root to compute the pairwise sum

a

and product

c

Solución:

La cuarta raíz es

-6

porque la suma de las raíces es cero. La suma de los productos por pares es

\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}

mientras que el producto es

c=(1)(2)(3)(-6)=-36.

Así,

a+c=-61.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The fourth root is

-6

because the root sum is zero. The sum of pairwise products is

\begin{aligned} a&=2+3-6+6\\ &\quad-12-18=-25, \end{aligned}

while the product is

c=(1)(2)(3)(-6)=-36.

Thus

a+c=-61.

Therefore, the correct answer is D.

31.

El triángulo

ABC

está inscrito en un círculo de centro

O'.

Un círculo de centro

O

está inscrito en el triángulo

ABC.

Se traza

AO

y se prolonga hasta cortar el círculo mayor en

D.

Entonces necesariamente:

Triangle

ABC

is inscribed in a circle with center

O'.

A circle with center

O

is inscribed in triangle

ABC.

AO

is drawn, and extended to intersect the larger circle in

D.

Then we must have:

CD=BD=O'D

AO=CO=OD

CD=CO=BD

CD=OD=BD

O'B=O'C=OD

Respuesta: D

Conceptos:persecución de ángulos circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio circunferencia inscrita, incentro e inradio

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

La recta

AD

biseca

\angle A,

por lo que

D

es el punto medio del arco

BC

Line

AD

bisects

\angle A,

so

D

is the midpoint of arc

BC

Pista grande:

Compara los ángulos del triángulo

COD

para demostrar

CD=OD

Compare angles in triangle

COD

to show

CD=OD

Solución:

Como

AO

es una bisectriz, los ángulos inscritos

\angle BAD

y

\angle CAD

son iguales. Por ello, los arcos

BD

y

CD

, y por consiguiente las cuerdas

BD

y

CD,

son iguales.

Sean

\angle BAD=\alpha

y

\angle BCO=\beta.

Entonces

\angle OCD=\alpha+\beta.

En el triángulo

AOC,

el ángulo exterior

\angle COD

también es

\alpha+\beta.

Así,

CD=OD,

por lo que

CD=OD=BD.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Because

AO

is an angle bisector, the inscribed angles

\angle BAD

and

\angle CAD

are equal. Hence arcs

BD

and

CD

, and therefore chords

BD

and

CD,

are equal.

Let

\angle BAD=\alpha

and

\angle BCO=\beta.

Then

\angle OCD=\alpha+\beta.

In triangle

AOC,

the exterior angle

\angle COD

also equals

\alpha+\beta.

Thus

CD=OD,

so

CD=OD=BD.

Therefore, the correct answer is D.

32.

Sea

M

el punto medio del lado

AB

del triángulo

ABC.

Sea

P

un punto de

AB

entre

A

y

M,

y trácese

MD

paralela a

PC

, que corta a

BC

en

D.

Si la razón entre el área del triángulo

BPD

y la del triángulo

ABC

se denota por

r,

entonces:

Let

M

be the midpoint of side

AB

of triangle

ABC.

Let

P

be a point on

AB

between

A

and

M,

and let

MD

be drawn parallel to

PC

and intersecting

BC

at

D.

If the ratio of the area of triangle

BPD

to that of triangle

ABC

is denoted by

r,

then:

\dfrac12\lt r\lt1

, según la posición de

P

\dfrac12\lt r\lt1

depending upon the position of

P

r=\dfrac12

, independientemente de la posición de

P

r=\dfrac12

independent of the position of

P

\dfrac12\leq r\lt1

, según la posición de

P

\dfrac12\leq r\lt1

depending upon the position of

P

\dfrac13\lt r\lt\dfrac23

, según la posición de

P

\dfrac13\lt r\lt\dfrac23

depending upon the position of

P

r=\dfrac13

, independientemente de la posición de

P

r=\dfrac13

independent of the position of

P

Respuesta: B

Conceptos:razón de áreas mediana (geometría)rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Los triángulos

MDP

y

MDC

tienen bases iguales sobre rectas paralelas

Triangles

MDP

and

MDC

have equal bases on parallel lines

Pista grande:

Suma sus áreas a

[BMD]

y usa que

CM

es una mediana

Add their areas to

[BMD]

and use that

CM

is a median

Solución:

Como

MD\parallel PC,

los triángulos

MDP

y

MDC

tienen la misma base

MD

y alturas iguales, así que sus áreas son iguales. Por ello,

\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}

Como

CM

es una mediana,

[BMC]=\frac{[ABC]}{2}.

Así,

r=\frac{1}{2}

para todo

P

permitido.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

MD\parallel PC,

triangles

MDP

and

MDC

have the same base

MD

and equal altitudes, so their areas are equal. Hence

\begin{aligned} [BPD] &=[BMD]+[MDP]\\ &=[BMD]+[MDC]\\ &=[BMC]. \end{aligned}

Because

CM

is a median,

[BMC]=\frac{[ABC]}{2}.

Thus

r=\frac{1}{2}

for every allowed

P.

Therefore, the correct answer is B.

33.

Si

ab\ne0

y

|a|\ne|b|,

el número de valores distintos de

x

que satisfacen la ecuación

\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}

es:

If

ab\ne0

and

|a|\ne|b|,

the number of distinct values of

x

satisfying the equation

\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}

is:

0

1

2

3

4

Respuesta: D

Conceptos:manipulación algebraica factorización ecuación racional

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Tras combinar términos, ambos lados contienen el numerador

(a+b)x-(a^2+b^2)

Both sides contain the numerator

(a+b)x-(a^2+b^2)

after combining terms

Pista grande:

Factoriza la ecuación como ese numerador por una diferencia de recíprocos

Factor the equation into that numerator times a difference of reciprocals

Solución:

Sea

N=(a+b)x-a^2-b^2.

Al combinar cada lado se obtiene

N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.

El primer factor da

x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.

El segundo da

(x-a)(x-b)=ab,

o bien

x(x-a-b)=0,

lo que da

x=0

y

x=a+b.

Las hipótesis garantizan que los tres están definidos y son distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

N=(a+b)x-a^2-b^2.

Combining each side gives

N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.

The first factor gives

x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.

The second gives

(x-a)(x-b)=ab,

or

x(x-a-b)=0,

giving

x=0

and

x=a+b.

The hypotheses ensure that all three are defined and distinct.

Therefore, the correct answer is D.

34.

Sea

r

la velocidad en millas por hora a la que avanza una rueda de

11

pies de circunferencia. Si el tiempo de una vuelta completa se reduce en

\dfrac14

de segundo, la velocidad

r

aumenta

5

millas por hora. Entonces

r

es:

Let

r

be the speed in miles per hour at which a wheel,

11

feet in circumference, travels. If the time for a complete rotation of the wheel is shortened by

\dfrac14

of a second, the speed

r

is increased by

5

miles per hour. Then

r

is:

9

10

10\dfrac12

11

12

Respuesta: B

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación racional conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

A

r

millas por hora, una vuelta tarda

\frac{7.5}{r}

segundos

At

r

miles per hour, one rotation takes

\frac{7.5}{r}

seconds

Pista grande:

Plantea

\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac{1}{4}

Set

\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac{1}{4}

Solución:

Como

11

pies son

\frac{11}{5280}

de milla, una vuelta a

r

millas por hora tarda

\frac{3600\cdot11}{5280r}=\frac{7.5}{r}

segundos. Por ello,

\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac14.

Esto se reduce a

r^2+5r-150=0,

o

(r-10)(r+15)=0.

La velocidad positiva es

r=10.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

11

feet is

\frac{11}{5280}

mile, one rotation at

r

mph takes

\frac{3600\cdot11}{5280r}=\frac{7.5}{r}

seconds. Thus

\frac{7.5}{r}-\frac{7.5}{r+5}=\frac14.

This reduces to

r^2+5r-150=0,

or

(r-10)(r+15)=0.

The positive speed is

r=10.

Therefore, the correct answer is B.

35.

Sea

O

un punto interior del triángulo

ABC,

y sea

s_1=OA+OB+OC.

Si

s_2=AB+BC+CA,

entonces:

Let

O

be an interior point of triangle

ABC,

and let

s_1=OA+OB+OC.

If

s_2=AB+BC+CA,

then:

para todo triángulo,

s_1\gt\dfrac12s_2,

y

s_1\leq s_2

for every triangle

s_1\gt\dfrac12s_2,

and

s_1\leq s_2

para todo triángulo,

s_1\geq\dfrac12s_2,

y

s_1\lt s_2

for every triangle

s_1\geq\dfrac12s_2,

and

s_1\lt s_2

para todo triángulo,

s_1\gt\dfrac12s_2,

y

s_1\lt s_2

for every triangle

s_1\gt\dfrac12s_2,

and

s_1\lt s_2

para todo triángulo,

s_1\geq\dfrac12s_2,

y

s_1\leq s_2

for every triangle

s_1\geq\dfrac12s_2,

and

s_1\leq s_2

ni

(A)

, ni

(B)

, ni

(C)

, ni

(D)

se aplica a todo triángulo

neither

(A)

nor

(B)

nor

(C)

nor

(D)

applies to every triangle

Respuesta: C

Conceptos:acotación a casos límite desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Suma

AB\lt OA+OB,

BC\lt OB+OC,

y

CA\lt OC+OA

Add

AB\lt OA+OB,

BC\lt OB+OC,

and

CA\lt OC+OA

Pista grande:

Prolonga

AO

hasta el lado

BC

para demostrar

OA+OB\lt AC+CB,

y repite cíclicamente

Extend

AO

to side

BC

to prove

OA+OB\lt AC+CB,

and cycle

Solución:

Al sumar las tres desigualdades triangulares estrictas

\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}

se obtiene

s_2\lt2s_1.

Para la cota superior, prolonga

AO

hasta

D

en

BC.

Entonces

AO+OD\lt AC+CD

y

OB\lt OD+DB,

por lo que al cancelar se obtiene

OA+OB\lt AC+CB.

Al repetir cíclicamente y sumar se obtiene

2s_1\lt2s_2.

Por lo tanto,

s_1\gt \frac{s_2}{2}

y

s_1\lt s_2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Adding the three strict triangle inequalities

\begin{gathered} AB\lt OA+OB,\\ BC\lt OB+OC,\\ CA\lt OC+OA \end{gathered}

gives

s_2\lt2s_1.

For the upper bound, extend

AO

to

D

on

BC.

Then

AO+OD\lt AC+CD

and

OB\lt OD+DB,

so cancellation gives

OA+OB\lt AC+CB.

Cycling and adding yields

2s_1\lt2s_2.

Therefore

s_1\gt \frac{s_2}{2}

and

s_1\lt s_2.

Thus, the correct answer is C.

36.

Sea

\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}

una identidad en

x.

Si tomamos

s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},

entonces

s

es igual a:

Let

\begin{aligned} (1+x+x^2)^n &=a_0+a_1x\\ &\quad+a_2x^2+\cdots\\ &\quad+a_{2n}x^{2n} \end{aligned}

be an identity in

x.

If we let

s=a_0+a_2+a_4+\cdots+a_{2n},

then

s

equals:

2^n

2^n+1

\dfrac{3^n-1}{2}

\dfrac{3^n}{2}

\dfrac{3^n+1}{2}

Respuesta: E

Conceptos:paridad polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Evalúa el polinomio en

x=1

y

x=-1

Evaluate the polynomial at

x=1

and

x=-1

Pista grande:

Al sumar esos dos valores se cancelan todos los coeficientes de grado impar

Adding those two values cancels all odd-degree coefficients

Solución:

Sea

P(x)=(1+x+x^2)^n.

Entonces

P(1)=3^n

es la suma de todos los coeficientes, mientras que

P(-1)=1

es la suma de los coeficientes pares menos la de los impares. Por lo tanto,

s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

P(x)=(1+x+x^2)^n.

Then

P(1)=3^n

is the sum of all coefficients, while

P(-1)=1

is the even-coefficient sum minus the odd-coefficient sum. Therefore

s=\frac{P(1)+P(-1)}2=\frac{3^n+1}{2}.

Therefore, the correct answer is E.

37.

Tres hombres, Alfa, Beta y Gamma, trabajando juntos, terminan un trabajo en

6

horas menos que Alfa solo, en

1

hora menos que Beta solo y en la mitad del tiempo que necesita Gamma solo. Sea

h

el número de horas que necesitan Alfa y Beta, trabajando juntos, para terminarlo. Entonces

h

es igual a:

Three men, Alpha, Beta, and Gamma, working together, do a job in

6

hours less time than Alpha alone, in

1

hour less time than Beta alone, and in one-half the time needed by Gamma when working alone. Let

h

be the number of hours needed by Alpha and Beta, working together, to do the job. Then

h

equals:

\dfrac52

\dfrac32

\dfrac43

\dfrac54

\dfrac34

Respuesta: C

Conceptos:tasa ecuación racional sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Sea

t

el tiempo que tardan los tres juntos

Let

t

be the time all three take together

Pista grande:

Sus tiempos individuales son

t+6,

t+1,

y

2t

; suma las tasas recíprocas

Their individual times are

t+6,

t+1,

and

2t

; add reciprocal rates

Solución:

Si los tres juntos tardan

t

horas, entonces

\frac1{t+6}+\frac1{t+1}+\frac1{2t}=\frac1t.

Esto se simplifica a

3t^2+7t-6=0,

por lo que

t=\frac{2}{3}.

Alfa y Beta solos tardan

\frac{20}{3}

y

\frac{5}{3}

horas, así que su tasa conjunta es

\frac{3}{20}+\frac{3}{5}=\frac{3}{4}.

Por ello,

h=\frac{4}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If all three together take

t

hours, then

\frac1{t+6}+\frac1{t+1}+\frac1{2t}=\frac1t.

This simplifies to

3t^2+7t-6=0,

so

t=\frac{2}{3}.

Alpha and Beta alone take

\frac{20}{3}

and

\frac{5}{3}

hours, so their combined rate is

\frac{3}{20}+\frac{3}{5}=\frac{3}{4}.

Hence

h=\frac{4}{3}.

Therefore, the correct answer is C.

38.

En el triángulo

ABC

, las medianas

AM

y

CN

a los lados

BC

y

AB,

respectivamente, se cortan en

O.

P

es el punto medio del lado

AC,

y

MP

corta a

CN

en

Q.

Si el área del triángulo

OMQ

es

n,

entonces el área del triángulo

ABC

es:

In triangle

ABC

the medians

AM

and

CN

to sides

BC

and

AB,

respectively, intersect in point

O.

P

is the midpoint of side

AC,

and

MP

intersects

CN

in

Q.

If the area of triangle

OMQ

is

n,

then the area of triangle

ABC

is:

16n

18n

21n

24n

27n

Respuesta: D

Conceptos:razón de áreas baricentro geometría analítica mediana (geometría)

Nivel de dificultad: 1650

Pista pequeña:

Usa un modelo afín

A=(0,0),

B=(2,0),

y

C=(0,2)

Use an affine model

A=(0,0),

B=(2,0),

and

C=(0,2)

Pista grande:

Halla

M,O,P,Q

y compara las dos áreas

Find

M,O,P,Q

and compare the two areas

Solución:

Las razones de áreas son invariantes bajo transformaciones afines, así que toma

A=(0,0),

B=(2,0),

y

C=(0,2).

Entonces

\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}

La recta

MP

es

y=1,

y corta la mediana

CN

en

Q=(\frac{1}{2},1).

Así,

[OMQ]=\frac{1}{12},

mientras que

[ABC]=2.

Su razón es

24,

por lo que

[ABC]=24n.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Area ratios are affine-invariant, so take

A=(0,0),

B=(2,0),

and

C=(0,2).

Then

\begin{gathered} M=(1,1),\\ O=(\frac{2}{3},\frac{2}{3}),\\ P=(0,1). \end{gathered}

Line

MP

is

y=1,

and it meets median

CN

at

Q=(\frac{1}{2},1).

Thus

[OMQ]=\frac{1}{12},

while

[ABC]=2.

Their ratio is

24,

so

[ABC]=24n.

Therefore, the correct answer is D.

39.

En base

R_1

, la expansión de la fracción

F_1

es

0.373737\ldots

y la de

F_2

es

0.737373\ldots.

En base

R_2

, la fracción

F_1,

al expandirse, se convierte en

0.252525\ldots,

mientras que

F_2

se convierte en

0.525252\ldots.

La suma de

R_1

y

R_2,

escritos ambos en base diez, es:

In base

R_1

the expanded fraction

F_1

becomes

0.373737\ldots

and the expanded fraction

F_2

becomes

0.737373\ldots.

In base

R_2

fraction

F_1,

when expanded, becomes

0.252525\ldots,

while fraction

F_2

becomes

0.525252\ldots.

The sum of

R_1

and

R_2,

each written in base ten, is:

24

22

21

20

19

Respuesta: E

Conceptos:base numérica decimal periódico sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Un par repetido

ab

en base

R

es igual a

\frac{aR+b}{R^2-1}

A repeating pair

ab

in base

R

equals

\frac{aR+b}{R^2-1}

Pista grande:

Suma las ecuaciones de

F_1

y

F_2,

y luego réstalas

Add the equations for

F_1

and

F_2,

then subtract them

Solución:

Las dos descripciones dan

\begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1}. \end{aligned}

Al sumar se obtiene

\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1},

o

10R_2-7R_1=3.

Al restar se obtiene

\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1},

o

4R_2-3R_1=-1.

Al resolver se obtiene

R_1=11,

R_2=8,

cuya suma es

19.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two descriptions give

\begin{aligned} F_1&=\frac{3R_1+7}{R_1^2-1}\\ &=\frac{2R_2+5}{R_2^2-1},\\ F_2&=\frac{7R_1+3}{R_1^2-1}\\ &=\frac{5R_2+2}{R_2^2-1}. \end{aligned}

Adding yields

\frac{10}{R_1-1}=\frac{7}{R_2-1},

or

10R_2-7R_1=3.

Subtracting yields

\frac{4}{R_1+1}=\frac{3}{R_2+1},

or

4R_2-3R_1=-1.

Solving gives

R_1=11,

R_2=8,

whose sum is

19.

Therefore, the correct answer is E.

40.

En esta figura,

AB

es el diámetro de un círculo de centro

O,

y radio

a.

Se traza la cuerda

AD

y se prolonga hasta cortar en

C

la tangente al círculo en

B.

Se toma el punto

E

en

AC

de modo que

AE=DC.

Si las coordenadas de

E

son

(x,y),

entonces:

In this figure

AB

is a diameter of a circle, centered at

O,

with radius

a.

A chord

AD

is drawn and extended to meet the tangent to the circle at

B,

in point

C.

Point

E

is taken on

AC

so that

AE=DC.

If the coordinates of

E

are

(x,y),

then:

y^2=\dfrac{x^3}{2a-x}

y^2=\dfrac{x^3}{2a+x}

y^4=\dfrac{x^2}{2a-x}

x^2=\dfrac{y^2}{2a-x}

x^2=\dfrac{y^2}{2a+x}

Respuesta: A

Conceptos:círculo geometría analítica semejanza recta tangente

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde

E

y

D

al diámetro

AB

Drop perpendiculars from

E

and

D

to diameter

AB

Pista grande:

Usa

AE=DC

entre las dos tangentes paralelas y combina el teorema de la altura con triángulos semejantes

Use

AE=DC

between the two parallel tangents, then combine the altitude theorem with similar triangles

Solución:

Traza las perpendiculares

EM

y

DN

a

AB.

Como

AE=DC

y las tangentes por

A,B

son paralelas, sus proyecciones dan

NB=x.

Por ello,

AN=2a-x.

En el triángulo rectángulo

ADB,

el teorema de la altura da

DN^2=x(2a-x).

Los triángulos semejantes

AME

y

AND

dan

\frac{DN}{2a-x}=\frac{y}{x},

por lo que

DN=\frac{y(2a-x)}{x}.

La sustitución y la cancelación producen

y^2=\frac{x^3}{2a-x}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Drop perpendiculars

EM

and

DN

to

AB.

Since

AE=DC

and the tangents through

A,B

are parallel, their projections give

NB=x.

Hence

AN=2a-x.

In right triangle

ADB,

the altitude theorem gives

DN^2=x(2a-x).

Similar triangles

AME

and

AND

give

\frac{DN}{2a-x}=\frac{y}{x},

so

DN=\frac{y(2a-x)}{x}.

Substitution and cancellation yield

y^2=\frac{x^3}{2a-x}.

Therefore, the correct answer is A.

Problemas del 1966 AMC 12

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1030

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1320

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1110

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Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1030

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Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1450

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Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 960

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Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1430

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