1961 AMC 12 第 33 题

Question

方程

2^{2x}-3^{2y}=55

中

x

和

y

均为整数，其解的个数为：

The number of solutions of

2^{2x}-3^{2y}=55,

in which

x

and

y

are integers, is:

0

1

2

3

多于三个，但为有限个

more than three, but finite

答案：B

知识点：平方差丢番图方程因数

难度评级：1550

小提示：

将左边按平方差因式分解

Factor the left side as a difference of squares

大提示：

两个正因数的乘积为

55

，且奇偶性相同

The two positive factors multiply to

55

and have the same parity

解答：

因式分解得

(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55\text{。}

首先，

x>0

。若

y\le0

，则

55<4^x\le56

，而

4

的整数次幂不可能落在这个范围内。因此

y>0

，两个因数都是正奇整数。因数对

5

、

11

给出

2^{x+1}=16

和

2\cdot3^y=6

，所以

(x,y)=(3,1)

。因数对

1

、

55

则要求

2^x=28

，不可能。因此恰有一个解。

所以，正确答案是 B。

Factor:

(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.

First,

x>0.

If

y\le0,

then

55<4^x\le56,

which is impossible for an integral power of

4.

Hence

y>0,

so both factors are positive odd integers. The factor pair

5,

11

gives

2^{x+1}=16

and

2\cdot3^y=6,

so

(x,y)=(3,1).

The factor pair

1,

55

would require

2^x=28,

impossible. Hence there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

1961 AMC 12 第 33 题

答案：B

难度评级：1550

小提示：

大提示：

解答：

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