1961 AMC 12 Problema 33

Question

El número de soluciones de

2^{2x}-3^{2y}=55,

donde

x

y

y

son enteros, es:

The number of solutions of

2^{2x}-3^{2y}=55,

in which

x

and

y

are integers, is:

0

1

2

3

más de tres, pero finito

more than three, but finite

Respuesta: B

Conceptos:diferencia de cuadrados Ecuación diofántica factor

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Factoriza el lado izquierdo como diferencia de cuadrados

Factor the left side as a difference of squares

Pista grande:

Los dos factores positivos tienen producto

55

y la misma paridad

The two positive factors multiply to

55

and have the same parity

Solución:

Factorizando,

(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.

Primero,

x>0.

Si

y\le0,

entonces

55<4^x\le56,

lo cual es imposible para una potencia entera de

4.

Por tanto,

y>0,

y ambos factores son enteros impares positivos. El par de factores

5,

11

da

2^{x+1}=16

y

2\cdot3^y=6,

por lo que

(x,y)=(3,1).

El par de factores

1,

55

exigiría

2^x=28,

imposible. Hay una sola solución.

Así, la respuesta correcta es B.

Factor:

(2^x-3^y)(2^x+3^y)=55.

First,

x>0.

If

y\le0,

then

55<4^x\le56,

which is impossible for an integral power of

4.

Hence

y>0,

so both factors are positive odd integers. The factor pair

5,

11

gives

2^{x+1}=16

and

2\cdot3^y=6,

so

(x,y)=(3,1).

The factor pair

1,

55

would require

2^x=28,

impossible. Hence there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.