1966 AMC 12 第 33 题

Question

若

ab\ne0

且

|a|\ne|b|

，则满足方程的不同

x

值的个数

\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}

为：

If

ab\ne0

and

|a|\ne|b|,

the number of distinct values of

x

satisfying the equation

\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}

is:

0

1

2

3

4

两边通分后都含有分子

(a+b)x-(a^2+b^2)

Both sides contain the numerator

(a+b)x-(a^2+b^2)

after combining terms

将方程因式分解成该分子与两个倒数之差的乘积

Factor the equation into that numerator times a difference of reciprocals

设

N=(a+b)x-a^2-b^2

。两边分别通分可得

N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0\text{。}

第一个因子给出

x=\frac{a^2+b^2}{a+b}

。第二个因子给出

(x-a)(x-b)=ab

，即

x(x-a-b)=0

，从而得到

x=0

与

x=a+b

。题设条件保证三个值都有定义且互不相同。

因此，正确答案是 D。

Let

N=(a+b)x-a^2-b^2.

Combining each side gives

N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.

The first factor gives

x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.

The second gives

(x-a)(x-b)=ab,

or

x(x-a-b)=0,

giving

x=0

and

x=a+b.

The hypotheses ensure that all three are defined and distinct.

Therefore, the correct answer is D.

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