1966 AMC 12 Problema 33

Question

Si

ab\ne0

y

|a|\ne|b|,

el número de valores distintos de

x

que satisfacen la ecuación

\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}

es:

If

ab\ne0

and

|a|\ne|b|,

the number of distinct values of

x

satisfying the equation

\begin{aligned} \frac{x-a}{b}+\frac{x-b}{a} &=\frac{b}{x-a}\\ &\quad+\frac{a}{x-b} \end{aligned}

is:

0

1

2

3

4

Tras combinar términos, ambos lados contienen el numerador

(a+b)x-(a^2+b^2)

Both sides contain the numerator

(a+b)x-(a^2+b^2)

after combining terms

Factoriza la ecuación como ese numerador por una diferencia de recíprocos

Factor the equation into that numerator times a difference of reciprocals

Sea

N=(a+b)x-a^2-b^2.

Al combinar cada lado se obtiene

N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.

El primer factor da

x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.

El segundo da

(x-a)(x-b)=ab,

o bien

x(x-a-b)=0,

lo que da

x=0

y

x=a+b.

Las hipótesis garantizan que los tres están definidos y son distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

N=(a+b)x-a^2-b^2.

Combining each side gives

N\left(\frac1{ab} -\frac1{(x-a)(x-b)}\right)=0.

The first factor gives

x=\frac{a^2+b^2}{a+b}.

The second gives

(x-a)(x-b)=ab,

or

x(x-a-b)=0,

giving

x=0

and

x=a+b.

The hypotheses ensure that all three are defined and distinct.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 33 en otros años