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1971 AMC 12 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

数

2^{48}-1

能被

60

与

70

之间的两个数整除。这两个数是：

The number

2^{48}-1

is exactly divisible by two numbers between

60

and

70.

These numbers are:

61

、

63

61,

63

61

、

65

61,

65

63

、

65

63,

65

63

、

67

63,

67

67

、

69

67,

69

答案：C

知识点：因式分解指数整除性

难度评级：1990

小提示：

利用性质：若

n

是

m

的倍数，则

2^m-1

整除

2^n-1

Use the fact that

2^m-1

divides

2^n-1

whenever

n

is divisible by

m

大提示：

注意

63=2^6-1

，并且

2^{12}-1

是

65

的倍数

Recognize

63=2^6-1

and that

2^{12}-1

is divisible by

65

解答：

因为

48

是

6

的倍数，所以

2^{48}-1

是

63=2^6-1

的倍数。又有

2^{12}-1=4095=63\cdot65

，且

48

是

12

的倍数，所以

2^{48}-1

是

65

的倍数。因此这两个数是

63

和

65

。

因此，正确答案为 C。

Because

48

is divisible by

6,

the number

2^{48}-1

is divisible by

63=2^6-1.

Also

2^{12}-1=4095=63\cdot65,

and

48

is divisible by

12,

so

2^{48}-1

is divisible by

65.

Thus the two numbers are

63

and

65.

Therefore, the correct answer is C.

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