1971 AMC 12 第 31 题

Question

四边形

ABCD

内接于一个圆，边

AD

是长为

4

的直径。若边

AB

和

BC

的长度都为

1

，则边

CD

的长度为：

Quadrilateral

ABCD

is inscribed in a circle with side

AD,

a diameter of length

4.

If sides

AB

and

BC

each have length

1,

then side

CD

has length:

\frac{7}{2}

\frac{5\sqrt2}{2}

\sqrt{11}

\sqrt{13}

2\sqrt3

答案：A

知识点：圆弦三角恒等式

难度评级：2190

小提示：

等弦

AB

与

BC

所对的圆心角相等

Equal chords

AB

and

BC

subtend equal central angles

大提示：

若其中任一圆心角的一半为

t

，则

4\sin t=1

，且

CD=4\cos(2t)

If half of either central angle is

t

, then

4\sin t=1

and

CD=4\cos(2t)

解答：

该圆的半径为

2

。设等弦

AB

与

BC

所对的圆心角都为

2t

。则

1=4\sin t\text{，}

所以

\sin t=\frac{1}{4}

。沿半圆从

C

到

D

的剩余圆心角为

\pi-4t

，故

\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72\text{。} \end{aligned}

因此，正确答案为 A。

The circle has radius

2.

Let the central angles subtending the equal chords

AB

and

BC

each be

2t.

Then

1=4\sin t,

so

\sin t=\frac{1}{4}.

The remaining central angle from

C

to

D

along the semicircle is

\pi-4t,

hence

\begin{aligned} CD&=4\sin\left(\frac{\pi-4t}{2}\right)\\ &=4\cos(2t)\\ &=4\left(1-2\cdot\frac1{16}\right)\\ &=\frac72. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is A.

1971 AMC 12 第 31 题

答案：A

难度评级：2190

小提示：

大提示：

解答：

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