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1971 AMC 12 第 32 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

32.

若

\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}})\text{，} \end{aligned}

则

s

等于：

If

\begin{aligned} s={}&(1+2^{-\frac{1}{32}})(1+2^{-\frac{1}{16}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{8}})(1+2^{-\frac{1}{4}})\\ &\cdot(1+2^{-\frac{1}{2}}), \end{aligned}

then

s

is equal to:

\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}

(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}

1-2^{-\frac{1}{32}}

\dfrac12(1-2^{-\frac{1}{32}})

\frac{1}{2}

答案：A

知识点：平方差裂项相消指数

难度评级：2210

小提示：

令

x=2^{-\frac{1}{32}}

Set

x=2^{-\frac{1}{32}}

大提示：

从因子

1+x^{16}

开始，反复应用平方差公式

Apply the difference-of-squares identity repeatedly through the factor

1+x^{16}

解答：

令

x=2^{-\frac{1}{32}}

。则

\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12\text{。} \end{aligned}

因此

s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}\text{。}

因此，正确答案为 A。

Let

x=2^{-\frac{1}{32}}.

Then

\begin{aligned} (1-x)s&=1-x^{32}\\ &=1-\frac12=\frac12. \end{aligned}

Therefore

s=\frac12(1-2^{-\frac{1}{32}})^{-1}.

Therefore, the correct answer is A.