1971 AMC 12 第 30 题

Question

给定线性分式变换

f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1}\text{，}

对

n=1

、

2

、

3

、

\ldots

，定义

f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))

。若

f_{35}(x)=f_5(x)

，则

f_{28}(x)

等于：

Given the linear fractional transformation

f_1(x)=\frac{2x-1}{x+1},

define

f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))

for

n=1,

2,

3,

\ldots.

Assuming

f_{35}(x)=f_5(x),

it follows that

f_{28}(x)

is equal to:

x

\frac{1}{x}

\frac{x-1}{x}

\frac{1}{1-x}

以上都不是

None of these

答案：D

知识点：函数递推变换

难度评级：2340

小提示：

通过复合逆变换消去五次迭代

Cancel five iterates by composing with the inverse transformation

大提示：

若

g=f_1^{-1}

，那么在

f_{30}

为恒等变换后有

f_{28}=g^2

If

g=f_1^{-1}

, then

f_{28}=g^2

once

f_{30}

is the identity

解答：

该变换可逆。由

f_{35}=f_5

，与

f_5^{-1}

复合可知

f_{30}

是恒等变换。由

y=\frac{2x-1}{x+1}

解出

x

，得

g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}\text{。}

由于迭代的周期为

30

，

f_{28}=f_{-2}=g^2

。直接复合得到

g(g(x))=\frac{1}{1-x}\text{。}

因此，正确答案为 D。

The transformation is invertible. From

f_{35}=f_5,

composing with

f_5^{-1}

shows that

f_{30}

is the identity. Solving

y=\frac{2x-1}{x+1}

for

x

gives

g(y)=f_1^{-1}(y)=\frac{y+1}{2-y}.

Since iterates have period

30,

f_{28}=f_{-2}=g^2.

Direct composition gives

g(g(x))=\frac{1}{1-x}.

Therefore, the correct answer is D.

1971 AMC 12 第 30 题

答案：D

难度评级：2340

小提示：

大提示：

解答：

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