1972 AMC 12 第 32 题

Question

图示圆中的弦

AB

和

CD

在

E

点垂直相交。若线段

AE

，

EB

，和

ED

的长度依次为

2

，

6

，和

3

，则该圆的直径长度为：

Chords

AB

and

CD

in the circle shown intersect at

E

and are perpendicular to each other. If segments

AE,

EB,

and

ED

have measures

2,

6,

and

3

respectively, then the length of the diameter of the circle is:

4\sqrt5

\sqrt{65}

2\sqrt{17}

3\sqrt7

6\sqrt2

答案：B

知识点：圆幂坐标几何距离公式圆

难度评级：1890

小提示：

先使用

AE\cdot EB=CE\cdot ED

First use

AE\cdot EB=CE\cdot ED

大提示：

把

E

置于原点；圆心位于两条弦的垂直平分线交点

Place

E

at the origin; the center is at the intersection of the two chord perpendicular bisectors

解答：

由相交弦定理，

2\cdot6=CE\cdot3\text{，}

所以

CE=4

。令

E=(0,0)

、

A=(-2,0)

、

B=(6,0)

、

C=(0,4)

且

D=(0,-3)

。弦

AB

与

CD

的垂直平分线交于

O=\left(2,\frac12\right)\text{。}

因此

r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4}\text{，}

直径为

2r=\sqrt{65}

。

因此，正确答案是 B。

The intersecting-chords theorem gives

2\cdot6=CE\cdot3,

so

CE=4.

Put

E=(0,0),

A=(-2,0),

B=(6,0),

C=(0,4),

and

D=(0,-3).

The perpendicular bisectors of

AB

and

CD

meet at

O=\left(2,\frac12\right).

Thus

r^2=OA^2=4^2+\left(\frac12\right)^2=\frac{65}{4},

and the diameter is

2r=\sqrt{65}.

Therefore, the correct answer is B.

1972 AMC 12 第 32 题

答案：B

难度评级：1890

小提示：

大提示：

解答：

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