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1972 AMC 12 Problema 31

Intenta el Problema 31 del 1972 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1972 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

31.

Al dividir el número

2^{1000}

entre

13,

el residuo es:

When the number

2^{1000}

is divided by

13,

the remainder in the division is:

1

2

3

7

11

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular exponenciación modular

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Usa

2^6\equiv-1\pmod{13}

Use

2^6\equiv-1\pmod{13}

Pista grande:

Escribe

1000=6\cdot166+4

Write

1000=6\cdot166+4

Solución:

Como

2^6=64\equiv-1\pmod{13},

\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

2^6=64\equiv-1\pmod{13},

\begin{aligned} 2^{1000}&=2^{6\cdot166+4}\\ &\equiv(-1)^{166}2^4\\ &\equiv16\\ &\equiv3\pmod{13}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.