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1980 AMC 12 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

若

c

是常数，且由

\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32 \end{gathered}

定义的函数

f

对除

-\frac32

外的所有实数

x

都满足

f(f(x))=x

，则

c

等于

If

c

is a constant and the function

f

defined by

\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32, \end{gathered}

satisfies

f(f(x))=x

for all real numbers

x

except

-\frac32,

then

c

is

-3

-\frac32

\frac32

3

由所给信息不能唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：A

知识点：函数分式方程代数变形

难度评级：1780

小提示：

把

f(f(x))

化为一个有理式

Compute

f(f(x))

as a single rational expression

大提示：

要使结果恒等于

x

，比较分母中

x

的系数

For the result to equal

x

identically, compare the coefficient of

x

in the denominator

解答：

直接复合可得

f(f(x)) =\frac{c^2x}{(2c+6)x+9}\text{。}

要使其恒等于

x

，分母必须为常数

c^2

。因此

2c+6=0

，且

c^2=9

，两者共同给出

c=-3

。

因此，正确答案是 A。

Direct composition gives

f(f(x)) =\frac{c^2x}{(2c+6)x+9}.

For this to equal

x

identically, the denominator must be the constant

c^2.

Thus

2c+6=0

and

c^2=9,

both of which give

c=-3.

Therefore, the correct answer is A.

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