1984 AMC 12 第 14 题

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14.

方程

x^{\log_{10}x}=10

的所有实根之积为

The product of all real roots of the equation

x^{\log_{10}x}=10

1

-1

10

10^{-1}

以上都不是

none of these

对等式两边取以

10

为底的对数

Take the base-

10

logarithm of both sides

令

t=\log_{10}x

，并解所得关于

t

的方程

Let

t=\log_{10}x

and solve the resulting equation in

t

对数要求

x\gt0

。等式两边取以

10

为底的对数，得到

(\log_{10}x)^2=1\text{。}

因此

\log_{10}x=\pm1

，所以两个根为

10

和

10^{-1}

，它们的积为

1

。

所以正确答案是 A。

The logarithm requires

x\gt0.

Taking base-

10

logarithms gives

(\log_{10}x)^2=1.

Thus

\log_{10}x=\pm1,

so the two roots are

10

and

10^{-1},

whose product is

1.

Therefore, the correct answer is A.

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