1984 AMC 12 Problema 14

Question

El producto de todas las raíces reales de la ecuación

x^{\log_{10}x}=10

es

The product of all real roots of the equation

x^{\log_{10}x}=10

is

1

-1

10

10^{-1}

ninguna de las anteriores

none of these

Toma el logaritmo en base

10

de ambos lados

Take the base-

10

logarithm of both sides

Sea

t=\log_{10}x

y resuelve la ecuación resultante en

t

Let

t=\log_{10}x

and solve the resulting equation in

t

El logaritmo exige que

x\gt0.

Al tomar logaritmos en base

10

se obtiene

(\log_{10}x)^2=1.

Así,

\log_{10}x=\pm1,

por lo que las dos raíces son

10

y

10^{-1},

cuyo producto es

1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The logarithm requires

x\gt0.

Taking base-

10

logarithms gives

(\log_{10}x)^2=1.

Thus

\log_{10}x=\pm1,

so the two roots are

10

and

10^{-1},

whose product is

1.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 14 en otros años