1959 AMC 12 Problema 38

Question

Si

4x+\sqrt{2x}=1,

entonces

x:

If

4x+\sqrt{2x}=1,

then

x:

es un entero

is an integer

es fraccionario

is fractional

es irracional

is irrational

es imaginario

is imaginary

puede tener dos valores diferentes

may have two different values

Respuesta: B

Conceptos:radical sustitución cuadrática

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Sea

u=\sqrt{2x},

de modo que

x=\frac{u^2}{2}

y

u\ge0

Set

u=\sqrt{2x},

so

x=\frac{u^2}{2}

and

u\ge0

Pista grande:

Resuelve la cuadrática resultante

2u^2+u-1=0

Solve the resulting quadratic

2u^2+u-1=0

Solución:

Sea

u=\sqrt{2x}\ge0.

Como

x=\frac{u^2}{2},

la ecuación se convierte en

2u^2+u=1,

o

(2u-1)(u+1)=0.

Por lo tanto,

u=\frac{1}{2}

y

x=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{8}.

La otra raíz cuadrática no es admisible porque

u\ge0.

Así,

x

es fraccionario.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

u=\sqrt{2x}\ge0.

Since

x=\frac{u^2}{2},

the equation becomes

2u^2+u=1,

or

(2u-1)(u+1)=0.

Thus

u=\frac{1}{2}

and

x=\frac{u^2}{2}=\frac{1}{8}.

The other quadratic root is inadmissible because

u\ge0.

Hence

x

is fractional.

Therefore, the correct answer is B.