1960 AMC 12 Problema 35

Question

Desde un punto

P

exterior a un círculo de circunferencia

10

unidades se traza una tangente. También desde

P

se traza una secante que divide el círculo en arcos desiguales de longitudes

m

y

n.

Se sabe que

t,

la longitud de la tangente, es la media proporcional entre

m

y

n.

Si

m

y

t

son enteros, entonces

t

puede tomar el siguiente número de valores:

From point

P

outside a circle, with a circumference of

10

units, a tangent is drawn. Also from

P

a secant is drawn dividing the circle into unequal arcs with lengths

m

and

n.

It is found that

t,

the length of the tangent, is the mean proportional between

m

and

n.

If

m

and

t

are integers, then

t

may have the following number of values:

cero

zero

uno

one

dos

two

tres

three

infinitos

infinitely many

Respuesta: C

Conceptos:razón y proporción cuadrado perfecto arco

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Usa

m+n=10

y

t^2=mn

Use

m+n=10

and

t^2=mn

Pista grande:

Prueba los valores enteros

m=1,2,\ldots,9,

excluyendo los arcos iguales

Test the integer values

m=1,2,\ldots,9,

excluding equal arcs

Solución:

Las longitudes de los arcos satisfacen

m+n=10,

mientras que la condición de media proporcional da

t^2=mn=m(10-m).

Para valores enteros de

m

desde

1

hasta

9,

los productos posibles, salvo simetría, son

9,

16,

21,

24

y

25.

El último corresponde a arcos iguales

m=n=5

y se excluye. Los cuadrados restantes dan

t=3

y

t=4,

dos valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The arc lengths satisfy

m+n=10,

while the mean-proportional condition gives

t^2=mn=m(10-m).

For integral

m

from

1

through

9,

the possible products, up to symmetry, are

9,

16,

21,

24,

and

25.

The last comes from equal arcs

m=n=5

and is excluded. The remaining squares give

t=3

and

t=4,

two values.

Thus, the correct answer is C.