1972 AMC 12 Problema 35

Question

El triángulo equilátero

ABP

, cuyo lado

AB

mide

2

pulgadas, se coloca dentro del cuadrado

AXYZ

, de lado

4

pulgadas, de modo que

B

esté sobre el lado

AX.

El triángulo gira en sentido horario primero alrededor de

B,

luego de

P,

y así sucesivamente a lo largo de los lados del cuadrado hasta que

P,

A,

y

B

regresen a sus posiciones originales. La longitud en pulgadas del camino recorrido por el vértice

P

es:

Equilateral triangle

ABP

with side

AB

of length

2

inches is placed inside square

AXYZ

with side of length

4

inches so that

B

is on side

AX.

The triangle is rotated clockwise about

B,

then

P,

and so on along the sides of the square until

P,

A,

and

B

all return to their original positions. The length of the path in inches traversed by vertex

P

is equal to:

\dfrac{20\pi}{3}

\dfrac{32\pi}{3}

12\pi

\dfrac{40\pi}{3}

15\pi

Respuesta: D

Conceptos:triángulo equilátero transformación arco simulación de procesos

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Sigue la orientación después de un circuito del cuadrado de ocho pivotes

Track the orientation after one eight-pivot circuit of the square

Pista grande:

Se necesitan tres circuitos; clasifica los pivotes según si

P

queda fijo o recorre un arco de

120^\circ

o de

30^\circ

Three circuits are needed; classify the pivots according to whether

P

is fixed or moves through a

120^\circ

or

30^\circ

arc

Solución:

Un circuito del cuadrado usa

8

pivotes y cambia la orientación del triángulo en

\frac{2}{3}

de una vuelta completa. Por lo tanto, se requieren

3

circuitos, o

24

pivotes, para devolver todo el triángulo a su posición inicial. En

8

de esos pivotes la rotación es alrededor de

P,

de modo que

P

no se mueve. En los otros

16,

ocho arcos abarcan

120^\circ

y ocho abarcan

30^\circ,

todos con radio

2.

Por consiguiente, la longitud total del camino es

\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

One circuit of the square uses

8

pivots and changes the triangle’s orientation by

\frac{2}{3}

of a full turn. Therefore

3

circuits, or

24

pivots, are required to restore the entire triangle. In

8

of those pivots the rotation is about

P,

so

P

does not move. In the other

16,

eight arcs subtend

120^\circ

and eight subtend

30^\circ,

all with radius

2.

Hence the total path length is

\begin{aligned} &8\left(\frac13\cdot4\pi\right) +8\left(\frac1{12}\cdot4\pi\right)\\ &\qquad=\frac{32\pi}{3}+\frac{8\pi}{3}\\ &\qquad=\frac{40\pi}{3}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.