1971 AMC 12 Problema 35
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35.
Cada círculo de una sucesión infinita de radios decrecientes es tangente exteriormente al círculo siguiente y a ambos lados de un ángulo recto dado. La razón del área del primer círculo a la suma de las áreas de todos los demás círculos de la sucesión es:
Each circle in an infinite sequence with decreasing radii is tangent externally to the one following it and to both sides of a given right angle. The ratio of the area of the first circle to the sum of the areas of all the other circles in the sequence is:
Respuesta: C
Pista pequeña:
Los centros están en la bisectriz del ángulo; halla la razón entre radios consecutivos
The centers lie on the angle bisector; find the ratio of consecutive radii
Pista grande:
La razón de radios es , así que la razón de áreas es su cuadrado
The radius ratio is , so the area ratio is its square
Solución:
Si los radios consecutivos son sus centros están en la bisectriz del ángulo a distancias y del vértice. La tangencia exterior da por lo que La razón de áreas consecutivas es Por tanto, el área del primer círculo dividida entre la suma de todas las áreas posteriores es
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
If consecutive radii are their centers lie on the angle bisector at distances and from the vertex. External tangency gives so The ratio of successive areas is Therefore the first area divided by the sum of all later areas is
Therefore, the correct answer is C.