1964 AMC 12 Problema 37

Question

Dados dos números positivos

a,

b

tales que

a\lt b.

Sea A.M. su media aritmética y sea G.M. su media geométrica positiva. Entonces A.M. menos G.M. siempre es menor que:

Given two positive numbers

a,

b

such that

a\lt b.

Let A.M. be their arithmetic mean and let G.M. be their positive geometric mean. Then A.M. minus G.M. is always less than:

\dfrac{(b+a)^2}{ab}

\dfrac{(b+a)^2}{8b}

\dfrac{(b-a)^2}{ab}

\dfrac{(b-a)^2}{8a}

\dfrac{(b-a)^2}{8b}

Reescribe

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}

usando

\sqrt b-\sqrt a

Rewrite

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}

using

\sqrt b-\sqrt a

Factoriza

b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)

para comparar con la opción D

Factor

b-a=(\sqrt b-\sqrt a)(\sqrt b+\sqrt a)

to compare with choice D

Tenemos

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.

Tras cancelar el factor positivo

(\sqrt b-\sqrt a)^2,

la comparación con la opción D se reduce a

\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.

Esto es cierto porque

\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.

Por tanto, A.M. menos G.M. siempre es menor que la expresión de la opción D.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

We have

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} =\frac{(\sqrt b-\sqrt a)^2}{2}.

After canceling the positive factor

(\sqrt b-\sqrt a)^2,

comparison with choice D reduces to

\frac12 <\frac{(\sqrt b+\sqrt a)^2}{8a}.

This is true because

\sqrt b+\sqrt a\gt2\sqrt a.

Thus A.M. minus G.M. is always less than the expression in choice D.

Therefore, the correct answer is D.

El Problema 37 en otros años