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1954 AMC 12 第 14 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}

化简后等于：

When simplified

\sqrt{1+\left(\dfrac{x^4-1}{2x^2}\right)^2}

equals:

\dfrac{x^4+2x^2-1}{2x^2}

\dfrac{x^4-1}{2x^2}

\dfrac{\sqrt{x^2+1}}2

\dfrac{x^2}{\sqrt2}

\dfrac{x^2}{2}+\dfrac1{2x^2}

答案：E

知识点：根式完全平方数代数变形

难度评级：1740

小提示：

将

1

通分到分母

4x^4

上

Put

1

over the denominator

4x^4

大提示：

分子变为

4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2

The numerator becomes

4x^4+(x^4-1)^2=(x^4+1)^2

解答：

当

x\ne0

时，

\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4} \end{aligned}\text{。}

因为

x^2\gt0

，所以它的平方根为

\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}\text{。}

因此，正确答案是 E。

For

x\ne0,

\begin{aligned} &1+\left(\frac{x^4-1}{2x^2}\right)^2\\ &\quad=\frac{4x^4+(x^4-1)^2}{4x^4}\\ &\quad=\frac{(x^4+1)^2}{4x^4}. \end{aligned}

Because

x^2\gt0,

its square root is

\frac{x^4+1}{2x^2} =\frac{x^2}{2}+\frac1{2x^2}.

Thus, the correct answer is E.

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